\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article} \usepackage{a4,ngerman,amsmath,amssymb,times, bibgerm} \author{Michael Nirschl, Moritz Ringler} \title{Protokoll zum FP-Versuch A149\\Rauschen und Operationsverst"arkerschaltungen} \date{17./18. Januar 2000} \numberwithin{equation}{section} \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\frspr}{\textit} \newcommand{\unit}[1]{\text{ #1}} \newcommand{\vs}{\ensuremath{V_{rms}}} \newcommand{\ee}[1]{\cdot10^{#1}} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \section{Thema} In diesem Versuch wird das Rauschen in elektronischen Bauteilen, insbesondere in Operationsverst"arkern untersucht. \section{Theorie} Unter Rauschen versteht man zun"achst jegliche ungewollte St"orung, die ein gew"unschtes Signal ver"andert oder verdeckt.\\ Zu einem guten Teil stammen solche St"orungen aus Quellen au"serhalb des studierten Systems; Einfl"usse dieser Art werden in Versuchsteil~\ref{externestoerungen} untersucht. Die meisten solchen St"orungen werden durch elektromagnetische Wellen bewirkt und ihre Auswirkungen k"onnen durch ad"aquate Abschirmung minimiert werden.\\ Im engeren Sinn bezeichnet man mit Rauschen die spontanen, zuf"alligen Fluktuationen, die aus den physikalischen Eigenschaften des untersuchten Systems resultieren. Die momentane Amplitude von Rauschen dieser Art ist zuf"allig und folgt f"ur gew"ohnlich einer Normalverteilung um die Signalamplitude. Betrachtet man wie in diesem Versuch Spannungen, so wird die Verteilung durch die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte $f(V)$ beschrieben \begin{equation}f(V)=\frac{1}{\vs\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{(V-\overline{V})^2}{2{\vs}^2}\right)}\end{equation} wobei \vs\/ die Standardabweichung der Spannungsverteilung \begin{equation}\vs=\sqrt{t^{-1}\int^t_0\left(V(\tilde{t})^2-\overline{V}^2\right)d\tilde{t}}\end{equation} und $\overline{V}$ den Spannungsmittelwert \begin{equation}\overline{V}=t^{-1}\int^t_0V(\tilde{t})d\tilde{t}\end{equation} bezeichnen. Die Wahrscheinlichkeit eine Spannung in einem bestimmten Intervall zu messen, entspricht dem Integral dieser Dichtefunktion "uber das Intervall.\\ Dieses zuf"allige Rauschen l"asst sich auf Beitr"age aus verschiedenen Quellen zur"uckf"uhren. Besonders wichtig sind dabei thermisches Rauschen, $1/f$-Rauschen und Schrotrauschen. \subsection{Thermisches Rauschen} Das thermische Rauschen stellt (f"ur hohe Frequenzen) die Hauptkomponente des Rauschens, insbesondere f"ur den Fall, dass kein Gleichstrom flie"st. Es wird verursacht durch die thermische Zufallsbewegung der Elektronen in einem Widerstand. Der Mittelwert dieser Bewegung verschwindet, so dass auch der Mittelwert von Rauschstrom und -spannung verschwindet. Der Effekt des Rauschens an einem Widerstand $R$ kann beschrieben werden durch eine Stromquelle die parallel zum (rauschlosen) Widerstand liegt und einen Rauschstrom $I_n$ liefert gem"a"s \begin{equation}I_n=\sqrt{4kTR^{-1}B_n}\end{equation} wobei $k$ die Boltzmannkonstante, $T$ die absolute Temperatur, $B_n$ die Frequenzbandbreite (Rauschbandbreite, s. \ref{bandbreite}) bezeichnet, oder er kann beschrieben werden durch eine Spannungsquelle in Serie mit dem idealen Widerstand, die die Rauschspannung $V_n$ erzeugt gem"a"s \begin{equation}V_n=RI_n=\sqrt{4kTRB_n}\end{equation} Die angegebenen Gr"o"sen sind nat"urlich nicht Momentangr"o"sen sondern die \mbox{rms-Werte} einer Gau"sverteilung der Momentanwerte (s. o.).\\ Die Rauschleistung geht hier linear mit der Frequenzbandbreite, so dass also die spektrale Energiedichte "uber das ganze Spektrum konstant ist. Dieses Frequenzverhalten wird als wei"ses Rauschen charakterisiert. \subsubsection{Rauschbandbreite}\label{bandbreite} Die Rauschbandbreite $B_n$ errechnet sich aus dem Frequenzgang einer Verst"arker- oder Filterschaltung nach \begin{equation} \begin{split} B_n &={G_0}^{-1} \int\limits_0^\infty G(f) df\\ &={v_0}^{-2} \int\limits_0^\infty |v(f)|^2 df \end{split}\label{rbb} \end{equation} mit: $G_0$ maximale Leistungsverst"arkung, $G(f)$ Leistungsverst"arkung, $v_0$ maximale Spannungsverst"arkung, $v(f)$ Spannungsverst"arkung\\ \frspr{De facto} ist die Rauschbandbreite auch ohne Filter begrenzt durch die Dauer der Messung auf der einen Seite und durch den Einfluss der endlichen Kapazit"at des Widerstandes auf der anderen Seite. Die Rauschbandbreite des von uns verwendeten Bandpasses wird in Abschnitt \ref{filter} berechnet. \subsubsection{Addition von Rauschspannungen} Rauschspannungen und Str"ome addieren sich allgemein wie folgt: \begin{equation}V_{12}=\sqrt{{V_1}^2+{V_2}^2+2\gamma V_1V_2}\end{equation} wobei $\gamma~\epsilon~[-1,1]$ f"ur den Korrelationskoeffizienten steht. Bei voneinander unabh"angigen Rauschquellen, wie etwa zwei Widerst"anden gilt $\gamma=0$. \subsection{$1/f$-Rauschen} $1/f$-Rauschen hat, wie der Name schon sagt, eine $1/f$-proportionale Rauschleistung. Genauer gesagt werden in verschiedenen Ger"aten Proportionalit"aten $f^{-\alpha}$ mit $\alpha$ zwischen $0,8$ und $1,3$ gemessen. Bei Halbleitern ist $1/f$-Rauschen haupts"achlich auf Oberfl"achen- und Grenzfl"acheneffekte zur"uckzuf"uhren und kann durch gezielte Oberfl"achenbehandlung verringert werden. Aufgrund ihres Frequenzverhaltens nennt man diese Art von Rauschen auch \frspr{pink noise}. \subsection{Schrotrauschen} Schrotrauschen entsteht durch die Tatsache, dass Strom nicht kontinuierlich sondern in Einheiten der Elementarladung $e$ flie"st. Dieser Granulationseffekt des Gleichstroms $I_=$ erzeugt an einer Potentialbarriere einen Rauschstrom \begin{equation}I_{schrot}=\sqrt{2eI_=B_n}\end{equation} Die Proportionalit"at des rms-Stromwertes zu $\sqrt{I_=}$ ist die bekannte $\sqrt{N}$-Proportionalit"at der Standardabweichung einer Gau"sverteilung. Schrotrauschen ist, wie man sieht, wei"ses Rauschen. \subsection{Rauschen bei Operationsverst"arkern} Beim Operationsverst"arker werden die Rauscheigenschaften durch eine Rauschstromquelle $i_n$ zwischen den beiden Eing"angen des Verst"arkers \textit{und} eine Rauschspannungsquelle $e_n$ an einem der Eing"ange modelliert. In invertierender Konfiguration errechnet sich daraus das Quadrat der Gesamteingangsrauschspannung $e_i$ pro Bandbreite ($\text{V}^2$/Hz) zu \begin{equation}{e_i}^2={e_n}^2+{R_S}^2\left({i_n}^2+4kT\left({R_S}^{-1}+{R_G}^{-1}\right)\right)\end{equation}\label{oprauschen} Hierbei bezeichnet $R_S$ den Quellwiderstand und $R_G$ den Realteil der Gegenkopplungs\-impedanz. Zus"atzlich ist das thermische Rauschen von Gegenkopplungs- und Eingangs\-widerstand ber"ucksichtigt. Das Ausgangsrauschen $e$ errechnet sich aus \eqref{oprauschen} durch Multiplikation mit der \frspr{closed-loop}-Verst"arkung. \subsection{Filter}\label{filter} In diesem Versuch werden aktive Hochpass- und Tiefpassfilter des Butterworth-Typs benutzt. Der Vorteil von aktiven Filtern, also Filtern die ein aktives Bauelement wie einen Operationsverst"arker enthalten, gegen"uber passiven Filtern besteht in erster Linie darin, dass durch das Zwischenschalten von Operationsverst"arkern aufeinanderfolgende Filterglieder entkoppelt werden und der Frequenzgang des Filters nicht mehr von der Belastung abh"angt.\\ Die Amplitudenantwort $\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|$ eines Butterworth Filters wird durch die Gleichung \begin{equation}\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=v_0\left(1+\left(\frac{f}{f_g}\right)^{2n}\right)^{-1/2}\end{equation} beschrieben. $n$ ist dabei eine ganze Zahl, $|n|$ hei"st die Ordnung des Filters, f"ur $n<0$ ist der Filter ein Hochpass f"ur $n>0$ ein Tiefpass. $f_g$ ist die Grenzfrequenz des Filters, bei der die Verst"arkung auf -3dB oder $2^{-1/2}$ der Maximalverst"arkung $v_0$ gesunken ist. Bei Realisierung durch eine Schaltung wie in Abb.~1 des Skriptes gilt \begin{equation}2\pi f_g=(RC)^{-1}\end{equation}\label{fg} Neben der Amplitudenantwort ist auch das Phasenverhalten von Interesse, da es Aufschluss "uber die m"ogliche Verzerrung eines Signals durch den Filter gibt.\\ Die Rauschbandbreite eines Butterworthfilters ergibt sich durch Ausf"uhrung der Integration in \eqref{rbb} wie folgt: \begin{tabbing} Tiefpass\quad\=$n_T=1$\qquad\=$\frac{\pi}{2} f_g$\\ Tiefpass\>$n_T=2$\>$\frac{\pi}{\sqrt{8}} f_g$\\ Tiefpass\>$n_T=3$\>$\frac{\pi}{3} f_g$\\ \end{tabbing} F"ur einen Bandpass aus Butterworth-Tiefpass zweiter und -Hochpass erster Ordnung mit Grenzfrequenz $f_T$ resp. $f_H$ ergibt sich aus der Verst"arkungsfunktion \begin{equation}\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=v_{0H}v_{0T}\left(\left(1+\left(\frac{f}{f_T}\right)^{4}\right)\cdot\left(1+\left(\frac{f_H}{f}\right)^{2}\right)\right)^{-1/2}\end{equation} die Rauschbandbreite \begin{equation}B_n=\frac{v_{0H}^2v_{0T}^2}{v_{0B}^2}\frac{\pi}{\sqrt{8}}{f_T}^3\frac{{f_T}^2+{f_H}^2-\sqrt{2}f_T f_H}{{f_T}^4+{f_H}^4}\end{equation}\label{breit} \section{Versuchsbeschreibung} \subsection{Filter}\label{filterbeschr} Im ersten Versuchsteil werden die Filter gebaut und vermessen, die in den folgenden Versuchsteilen die Rauschbandbreite definieren sollen.\\ Zwei Butterworth-Tiefpassfilter mit 3dB-Grenzfrequenzen $10\unit{Hz}$ und $1\unit{kHz}$ stehen bereits fertig zur Verf"ugung und m"ussen nur noch vermessen werden. Die beiden Hochpassfilter werden nun nach Abb.~1 des Skripts auf einer Platine zusammengel"otet. Die RC-Glieder werden dabei wie folgt dimensioniert: \begin{tabbing} 3dB-Grenzfrequenz in \unit{Hz}\quad\=$1,5\unit{M}\pm1\% + 0,1\unit{M}\pm1\%$\quad\qquad\=\kill 3dB-Grenzfrequenz in \unit{Hz}\>R in $\Omega$\>C in \unit{F}\\ $0,099$ $\pm0,010$ \> $(1,5\unit{M}\pm1\%) + (0,1\unit{M}\pm1\%)$\>$1\mu \pm10\%$\\ $4,82\unit{k}\pm1,08\unit{k}$\>$3,3\unit{k}\pm10\%$\>$0,01\mu$ \end{tabbing} Die nach \eqref{fg} berechneten Grenzfrequenzen kommen den angestrebten Werten von $0,1\unit{Hz}$ resp. $5\unit{kHz}$ recht nahe. Die Fehler wurden per Gau"s-Fehlerfortpflanzung aus den Fehlern von $R$ und $C$ berechnet, wobei f"ur den unbekannten Fehler der Kapazit"at wie im Skript angegeben ein Wert von $20\%$ verwendet wurde. Andere Fehler wie der Frequenzgang von (gegengekoppeltem!) Verst"arker und Kabeln sind dagegen vernachl"assigbar gering. \\ Die Filter werden dann vermessen: Die Gleichstrom-Spannungsversorgung (Akkus) wird angeschaltet, das Ausgangssignal eines Sinusgenerators mit verstellbarer Frequenz wird geteilt und einerseits auf den Eingang des Filters andererseits auf den ersten Kanal eines Oszilloskops gegeben. Der Ausgang des Filters wird nun auf den zweiten Kanal gegeben. Um \frspr{slew rate}-Effekte bei hohen Frequenzen zu minimieren, wird die Ausgangsspannung des Frequenzgenerators auf einen kleinen Wert eingestellt ($V_{in}=140\unit{mV}$) und w"ahrend der Messung durch Nachreglung konstant gehalten. Bei der Messung werden f"ur die eingestellten Frequenzen am Oszilloskop die Ausgangsspannung $V_{out}$ des Filters und die Phasenverschiebung gegen"uber der Eingangsspannung gemessen. Bei $5\unit{kHz}$-Hochpass und $10\unit{kHz}$-Tiefpass wird je eine ganze Messreihe aufgenommen, f"ur das andere Filterpaar werden nur die Werte von S"attigungsverst"arkung und Grenzfrequenz ermittelt. \subsection{Strom- und Spannungsrauschen des Verst"arkers}\label{uirausch} Im zweiten Versuchsteil werden mit der Schaltung aus Abbildung~2 des Skriptes Strom und Spannungsrauschen der drei Operationsverst"arker AD711JM, F218AR-UA741CP und UA741CDP gemessen. Dazu wird an den Ausgang der Verst"arkerschaltung einer der beiden Bandpassfilter zur Auswahl des Frequenzbandes angeschlossen. Von den Filtern geht das Signal auf ein Speicheroszilloskop dessen Bild mit dem Computer ausgelesen wird. Am Computer werden aus diesen Daten die Fouriertransformation, die \vs-Werte und f"ur die niedrigen Frequenzen die Peak-to-Peak-Werte berechnet. Aus diesen lassen sich Rauschstrom und -spannung des Verst"arkers in den beiden Frequenzb"andern bestimmen. \begin{tabbing} Werte der Widerst"ande in Abb.~2 des Skriptes:\\ $R_S\quad$ \=$10~\Omega$\\ $R_+$ \>$1 \unit{M}\Omega$\\ $R_-$ \>$1 \unit{M}\Omega$\\ $R_N$ \>$10 \unit{k}\Omega$\\ \end{tabbing} \subsubsection{Spannungsrauschen}\label{urausch} Um das Spannungsrauschen zu messen, werden die Widerst"ande $R_+$ und $R_-$ "uberbr"uckt. Das Quadrat der Eingangsrauschspannung pro Bandbreite (V$^2$/Hz) ist dann \begin{equation} \begin{split} {e_i}^2&=2{e_s}^2+{e_n}^2+4kT/R_N\cdot{R_S}^2+2{i_n}^2{R_S}^2\\ &=4kTR_S\left(2+\frac{R_S}{R_N}\right)+2{i_n}^2{R_S}^2+{e_n}^2\\ &\approx 8kTR_S+2{i_n}^2{R_S}^2+{e_n}^2 \end{split} \end{equation} da $R_S/R_N=10^{-3}$.\\ Ferner gilt \begin{equation*}8kTR_S \approx 3\ee{-19}\unit{V}^2/\text{Hz}\end{equation*} und \begin{equation*} \begin{split} 2{i_n}^2{R_S}^2 &\leq(1\unit{pA}/\sqrt{\text{Hz}})^2\cdot100\Omega^2\\ &=2\ee{-22}\unit{V}^2/\text{Hz} \end{split} \end{equation*} Daher begeht man selbst bei einer vergleichsweise kleinen Eingangsrauschspannung von $e_n\approx3\unit{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$ nur einen Fehler von ungef"ahr $3,3\%$\/ f"ur ${e_n}^2$\/ und von $1,7\%$\/ f"ur $e_n$, wenn man $e_n\approx e_i$ setzt, sollte $e_i$ noch deutlich unter diesem Wert liegen, so muss der thermische Beitrag ber"ucksichtigt werden. Dies ist allerdings bei unseren Messwerten nicht der Fall (s. Tab.~\ref{rausch}). \\ $e_i$ wird aus dem verst"arkten Rauschen am Ausgang des Verst"arkers $e$ mittels Division durch die \frspr{closed-loop}-Verst"arkung $R_N/R_S=1000$ berechnet. $e$ selber wird wiederum aus der am Oszilloskop abgelesenen Spannung \vs\/ mittels Division durch die S"attigungsverst"arkung der Filter und die Wurzel der Bandbreite erhalten. \subsubsection{Stromrauschen}\label{irausch} Zur Messung des Stromrauschens werden die Jumper "uber $R_{\pm}$ ge"offnet. Hier ergibt sich nach \cite{Meschede::1993} \begin{equation} {i_n}^2=(e^2-8kTR_{\pm}{A_{VCL}}^2)(4{R_{\pm}}^2{A_{VCL}}^2)^{-1} \end{equation} wobei die \frspr{closed loop}-Verst"arkung $A_{VCL}$ hier wieder den Wert $R_N/R_S=1000$ hat; in Zahlen also \begin{equation} i_n=5\ee{-10}\sqrt{e^2-3,235\ee{-8}\unit{V}^2/\text{Hz}}\label{irauschgl} \end{equation} $e$ wird wie in Versuchsteil~\ref{urausch} bestimmt. \subsection{Externe St{\"o}rungen} \label{externestoerungen} In diesem Versuchsteil werden mit dem OP 711 im Frequenzband 5kHz-10kHz die gleichen Messungen wie in \ref{urausch} und \ref{irausch} durchgef"uhrt. Jedoch wird der Verst"arkerkreis externen St"orungen ausgesetzt, n"amlich durch \begin{itemize} \item Ann"ahern des unabgeschirmten Verst"arkers an den Computermonitor \item Ann"ahern des unabgeschirmten Verst"arkers an das Netzteil des L"otkolbens \item Erhitzen von Verst"arker und $R_S$ mit dem L"otkolben \item Versorgung der Verst"arkerschaltung mit gleichgerichtetem Wechselstrom \end{itemize} \subsection{Schrotrauschen einer Zenerdiode} Entf"allt, da Versuchsapparatur nicht funktionsf"ahig. \section{Ergebnisse und Fehler} \subsection{Filter}\label{filterergebnisse} Beim Vermessen des 5kHz-Hochpass- und des 10kHz-Tiefpassfilters wurden die Datenreihen in Tabelle~\ref{filt} aufgenommen. \begin{table}[hptb] \begin{center} \begin{tabular}{|l|ccccc|} \hline \multicolumn{6}{|c|}{Hochpass 5 kHZ}\\ \hline $f$/Hz & $V_{out}$/mV & $\Delta V_{out}$/mV & $\phi/\pi$ & $v$ & $\Delta v$ \\ \hline 45 & 1,9 & 0,5 & 0,50 & 0,014 & 0,004 \\ 472 & 29,5 & 1,5 & 0,47 & 0,211 & 0,013 \\ 901 & 56 & 2 & 0,44 & 0,400 & 0,020 \\ 1789 & 104 & 4 & 0,37 & 0,743 & 0,039 \\ 3640 & 175 & 5 & 0,32 & 1,250 & 0,057 \\ 5030 & 200 & 5 & 0,25 & 1,429 & 0,062 \\ 7370 & 230 & 5 & 0,15 & 1,643 & 0,069 \\ 14870 & 265 & 5 & 0,09 & 1,893 & 0,076 \\ 30000 & 265 & 5 & 0,00 & 1,893 & 0,076 \\ 90800 & 260 & 5 & -0,07 & 1,857 & 0,075 \\ 296000 & 250 & 5 & -0,41 & 1,786 & 0,073 \\ 601000 & 115 & 4 & -0,80 & 0,821 & 0,041 \\ \hline \multicolumn{6}{c}{~}\\ \hline \multicolumn{6}{|c|}{Tiefpass 10 kHZ}\\ \hline $f$/Hz & $V_{out}$/mV &$\Delta V_{out}$/mV & $\phi/\pi$ & $v$ & $\Delta v$ \\ \hline 11 & 210 & 5 & 1,06 & 1,500 & 0,064 \\ 107 & 235 & 5 & 0,99 & 1,679 & 0,070 \\ 1010 & 235 & 5 & 1,04 & 1,679 & 0,070 \\ 2150 & 235 & 5 & 1,11 & 1,679 & 0,070 \\ 3970 & 227,5 & 5 & 1,22 & 1,625 & 0,068 \\ 8000 & 185 & 5 & 1,43 & 1,321 & 0,059 \\ 9950 & 153 & 4 & 1,5 & 1,093 & 0,048 \\ 15860 & 79 & 4 & 1,7 & 0,564 & 0,035 \\ 30900 & 24,25 & 3 & 1,88 & 0,173 & 0,022 \\ 111500 & 3 & 1 & 2 & 0,021 & 0,0072 \\ 1000000 & 0,5 & 0,3 & -- & 0,004 & 0,0021 \\ \hline \end{tabular}\caption{Phasenverschiebung (modulo $2\pi$) und Verst"arkung der Filter in Abh"angigkeit von der Frequenz}\label{filt}\end{center}\end{table} Die Fehler werden hier "uberwiegend durch das Ablesen der Oszillogramme mit dem Auge bestimmt. Bei der Phasenverschiebung betragen sie konstant etwa $0,05\pi$, bei der Spannungsverst"arkung wurde ihre Gr"o"se wie in der Tabelle angegeben abgesch"atzt.\\ F"ur die Frequenz von 1 MHz konnte beim Tiefpass aufgrund der nur noch sehr geringen Amplitude des Ausgangssignals die Phasenverschiebung nicht eindeutig bestimmt werden. An die Messpunkte f"ur die Spannungsverst"arkung $v$ wird fehlergewichtet eine Butter\-worth-Filterfunktion nach Abs.~\ref{filter} gefittet (log-log-Bodeplots in Abbildungen A und C). Dabei werden jeweils nur die Frequenzen unter 120 kHz ber"ucksichtigt, da beim Hochpass ab etwa dieser Frequenz die maximale Anstiegsrate des Verst"arkerausgangs (\frspr{slew rate}) die Ausgangsamplitude begrenzt und da beim Tiefpassfilter die f"ur 1 MHz gemessene Spannung bereits so klein ist, dass sich auch hier Fehler des Verst"arkers bemerkbar machen. Die Fits haben eine recht hohe G"ute, wie sich an den niedrigen $\chi^2$-Werten (Summe der Abweichungsquadrate) von $7\ee{-5}$ f"ur den Hochpass und $2,3\ee{-4}$ f"ur den Tiefpass zeigt. \begin{tabbing} \textbf{Ergebnisse der Fits}\\ Hochpass \quad \=$f_g=(4,26\pm0,18)\unit{kHz}$\quad\=$v_0=1,906\pm0,021$\quad \=$n=-$\=$1\pm0,058$\\ Tiefpass \>$f_g=(9,41\pm0,43)\unit{kHz}$ \>$v_0=1,640\pm0,027$ \>$n=$\>$2\pm0,28$\\ Paramternamen: siehe Abs.~\ref{filter}\\ \end{tabbing} Insbesondere wird best"atigt, dass es sich bei den Tiefpassfiltern um Butterworth-Filter zweiter bei den Hochpassfiltern um solche erster Ordnung handelt. Die Grenzfrequenz des Hochpassfilters liegt innerhalb der Fehlergrenzen des in Abschnitt~\ref{filterbeschr} berechneten Wertes von $4,8\pm1,1\unit{kHz}$.\\ F"ur die beiden anderen Filter ergaben sich experimentell folgende Daten: \begin{tabbing} Hochpass \quad \=$f_g=(0,11\pm0,005)\unit{Hz}$\quad \=$v_0=2,0\pm0,2$\\ Tiefpass \>$f_g=(10\pm0,5)\unit{Hz}$ \>$v_0=1,7\pm0,2$ \end{tabbing} Auch die Grenzfrequenz des 0,1Hz-Hochpasses ist also innerhalb der Fehlergrenzen konform mit dem berechneten Wert.\\ Aus den experimentellen Filterdaten ergibt sich f"ur das hohe Frequenzband nach Formel \eqref{breit} eine Rauschbandbreite von $B_n=9,91\unit{kHz}$, wobei der gegen"uber der Differenz der 3dB-Grenzfrequenzen hoch erscheinende Wert darauf zur"uckzuf"uhren ist, dass die Produktfilterfunktion also der Bandpass nur noch eine Maximalverst"arkung von ${v_{0B}}^2=0,572\cdot{v_{0H}}^2{v_{0T}}^2$ aufweist. Ein Fehler dieser Bandbreite kann exakt praktisch nicht berechnet werden, da die zugrundeliegende Formel "uber $v_{0B}$ auf "au"serst komplexe Weise von den fehlerbehafteten Fitparametern abh"angt. Als Sch"atzwert f"ur den Fehler der Rauschbandbreite soll daher der Fehler dienen, der bei einfacher Differenzbildung auftreten w"urde, also \begin{equation*}\frac{\Delta B_n}{B_n}=\sqrt{\left(\frac{0,18}{4,26}\right)^2+\left(\frac{0,43}{9,41}\right)^2}=6,2\% \end{equation*} Aus analogen "Uberlegungen f"ur den zweiten Bandpass ergibt sich bei diesem eine Rauschbandbreite von $B_n=11,0\unit{Hz}\pm6,8\%$.\\ Die Phasenverschiebung ist in den Abbildungen B f"ur den Tiefpass und D f"ur den Hochpass bei linearer Achsenskalierung aufgetragen. Die Graphen wurden dabei mittels eines Splines bzw. eines b-Splines interpoliert. Theoretisch w"urde hier ein Verlauf wie $\arctan(f^2/f_g)$ f"ur den Tiefpass bzw. $\arctan(f_g/f)$ f"ur den Hochpass erwartet, da diese Gr"o"sen das Argument der komplexen Verst"arkungsfunktion beschreiben. Qualitativ sehen die gemessenen Kurven diesen theoretischen auch recht "ahnlich, jedoch verl"auft die Kurve des Tiefpasses bei uns von $\pi$ bis $2\pi$ statt von Null bis $\pi/2$ bei der Grenzfrequenz messen wir dementsprechend etwa $3/2\pi$ statt $\pi/4$. Die Hochpasskurve zeigt zun"achst ann"ahernd den theoretischen Verlauf, nimmt bei der Grenzfrequenz auch in etwa den Wert $\pi/4$ an, geht dann aber nicht gegen Null, sondern verl"auft fast linear in den negativen Bereich. Diese Abweichungen vom theoretischen Verhalten sind vermutlich dadurch bedingt, dass auch die anderen Bauteile der aktiven Filter Einfluss auf die Phasenverschiebung haben. \subsection{Strom- und Spannungsrauschen des Verst"arkers} Aus den aufgenommenen Oszillogrammen (Abbildungen 17, 19,\dots 37, 39) wurden die Werte in Tabelle~\ref{rausch} bestimmt. Dabei wurden zur Korrektur der \vs-Werte die S"attigungsverst"arkungen der Bandp"asse von $v_{0B}=2,36$ (5-10 kHz) und $v_{0B}=3,39$ (0,1-10 Hz) verwendet, ansonsten wurde verfahren wie unter \ref{uirausch} angegeben. \begin{table}[htpb] \begin{center} \begin{tabular}{|l|rrr|} \hline \textbf{Spannung} & \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{5kHz-10kHz}} \\ \hline & AD711JM & UA741CDP &F218AR-UA741CP\\ \hline $V_{pp}$ in Volt & [6,16E-02] & 7,04E-03 & 8,88E-03 \\ \vs in Volt (uk) & [9,53E-03] & 1,12E-03 & 1,39E-03 \\ crest factor & 6,46 & 6,27 & 6,41 \\ \vs in Volt (k) & [4,04E-03] & 4,76E-04 & 5,87E-04 \\ $e$ in V/$\surd$ Hz & [4,06E-05] & 4,78E-06 & 5,90E-06 \\ $e_n$ in V/$\surd$ Hz & [4,06E-08] & 4,78E-09 & 5,90E-09 \\ \hline \multicolumn{4}{c}{~} \\ \hline \textbf{Spannung} & \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{0,1Hz-10Hz}} \\ \hline & AD711JM & UA741CDP & F218AR-UA741CP \\ \hline $V_{pp}$ in Volt & 2,72E-03 & 7,52E-03 & 4,32E-03 \\ \vs in Volt (uk) & 3,93E-04 & 1,17E-03 & 5,71E-04 \\ crest factor & 6,92 & 6,45 & 7,57 \\ \vs in Volt (k) & 1,16E-04 & 3,44E-04 & 1,68E-04 \\ $e$ in V/$\surd$ Hz & 3,50E-05 & 1,04E-04 & 5,08E-05 \\ $e_n$ in V/$\surd$ Hz & 3,50E-08 & 1,04E-07 & 5,08E-08 \\ \hline \multicolumn{4}{c}{~} \\ \hline \textbf{Strom} & \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{5kHz-10kHz}} \\ \hline & AD711JM & UA741CDP &F218AR-UA741CP\\ \hline $V_{pp}$ in Volt & 2,34E-01 & 4,28E-02 & 3,48E-02 \\ \vs in Volt (uk) & 3,60E-02 & 7,17E-03 & 5,64E-03 \\ crest factor & 6,49 & 5,97 & 6,17 \\ \vs in Volt (k) & 1,53E-02 & 3,04E-03 & 2,39E-03 \\ $e$ in V/$\surd$ Hz & 1,53E-04 & 3,05E-05 & 2,40E-05 \\ $i_n$ in A/$\surd$ Hz & (7,67E-14) & (1,53E-14) & (1,69E-14) \\ \hline \multicolumn{4}{c}{~} \\ \hline \textbf{Strom} & \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{0,1Hz-10Hz}} \\ \hline & AD711JM & UA741CDP & F218AR-UA741CP \\ \hline $V_{pp}$ in Volt & 3,32E-02 & 4,84E-02 & 1,92E-01 \\ \vs in Volt (uk) & 3,73E-03 & 7,73E-03 & 2,73E-02 \\ crest factor & 8,91 & 6,26 & 7,04 \\ \vs in Volt (k) & 1,10E-03 & 2,28E-03 & 8,05E-03 \\ $e$ in V/$\surd$ Hz & 3,31E-04 & 6,88E-04 & 2,43E-03 \\ $i_n$ in A/$\surd$ Hz & 1,39E-13 & 3,32E-13 & 1,21E-12 \\ \hline \end{tabular} \caption{Rauschspannung und Strom bei verschiedenen OPV}\label{rausch} \end{center} \end{table} Die Werte in eckigen Klammern sind vermutlich um den Faktor f"unf zu hoch, siehe dazu Abschnitt~\ref{stoer1}. Die Bezeichnung $V_{pp}$ in der Tabelle steht f"ur peak-to-peak-Werte der aufgenommenen Oszillogramme. Der \frspr{crest factor} ist der Quotient aus $V_{pp}$ und \vs. Diese Gr"o"se ist charakteristisch f"ur die zugrundeliegende Momentanwertverteilung. Der \frspr{crest factor} von $6$ bis $8$ best"atigt hier ebenso wie die exemplarisch erstellten Histogramme (Abbildungen 22b und 24b) die Gaussverteilung der Momentanspannungen.\\ Weiterhin ist an den Messdaten f"ur \vs und den Fourierplots deutlich der Einfluss des $1/f$-Rauschens zu erkennen: entsprechende Messwerte sind f"ur das hohe Frequenzband regelm"a"sig deutlich kleiner als f"ur das niedrige Frequenzband. Interessant sind auch die Abweichungen zwischen den beiden 741. Obwohl beide Verst"arker der gleichen Familie angeh"oren, zeigen sie Unterschiede in den Rauschspannungen von bis zu einer Gr"o"senordnung. Da verwundert es dann auch nicht sehr, dass unsere Messwerte von den f"ur den 741 in \cite{Meschede::1993} angegebenen ($e_n=15\unit{nV}$, $i_n=0,5\unit{pA}$) um etwa den gleichen Faktor abweichen. Literaturdaten f"ur den 711 habe ich nicht gefunden.\\ Leider sieht man an unseren Ergebnissen auch, dass es eine sehr heikles Unterfangen ist, eine Messgr"o"se aus der sehr kleinen Differenz zweier Zahlen zu bestimmen, da diese Methode bei einer gewissen Gr"o"se der Fehler zum v"olligen Misserfolg f"uhren kann. In diesem Fall liegt es daran, dass das thermische Rauschen der Widerst"ande in die gleiche Gr"ossenordnung kommt wie das Stromrauschen des Operationsverst"arkers. Nehmen wir einmal als Beispiel an, wir h"atten einen Rauschstrom $i_n$ von 0,01 pA, was nicht einmal extrem gering ist. Dann h"atte man als Differenz unter der Wurzel in \eqref{irauschgl} einen Wert der um den Faktor zehn kleiner ist als das thermische Rauschen. Das hei"st, sobald z. B. durch die Toleranzen der Widerst"ande ein Fehler von 10\% entsteht, kann der Radikand negativ werden und die Bestimmung des gesuchten Wertes scheitern. Hier ist dies offensichtlich bei der Messung des Stromrauschens im hohen Frequenzband der Fall. Die Werte in runden Klammern sind daher ohne die Korrektur auf das thermische Rauschen in $R\pm$ berechnet.\\ Bei der Berechnung der Fouriertransformationen (18, 20, \dots, 38, 40) wurde die M"oglichkeit genutzt, nur positive Frequenzen zu ermitteln, so dass der Einfluss der Abtastfrequenz schon bei der FFT eliminiert wird. Hier wird der Einfluss der Filter relativ gut sichtbar. Zum Beispiel sieht man in Abbildung~20 deutlich die Unterdr"uckung niedriger Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz des Hochpasses und in Abbildung~26 die Unterdr"uckung der Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz des Tiefpasses. Zu beachten ist auch, dass w"ahrend der ca. 1-min"utigen Messzeit im niedrigen Frequenzbereich noch ein hoher Gleichstrom\-anteil gemessen wird, dies konnte selbst dann nicht ganz eliminiert werden, wenn man die Aufladekurve des Filterkondensators auf dem Oszilloskop beobachtet und abgewartet hat. \subsection{Externe St{\"o}rungen}\label{stoer1} Hier wurden die Messwerte in Tabelle \ref{stoer} aufgenommen. Zun"achst f"allt auf, dass offensichtlich unsere Messung des ungest"orten Messwertes f"ur das Spannungsrauschen um mindestens einen Faktor 5 zu hoch lag, da es eigentlich keinen Grund gibt, warum der gest"orte Verst"arker weniger Rauschen sollte. Ich vermute daher stark, dass wir hier f"alschlicherweise die 5x-Checkbox des Oszilloskop-Ausleseprogramms aktiviert hatten.\\ Die Fourierspektra und die \vs-Verh"altnisse zeigen in erster Linie eine unspezifische Erh"ohung der Rauschamplitude "uber das ganze Spektrum. Beim Computermonitor treten aber einige charakteristische Ver"anderungen auf. Erstens zeigt das Oszillogramm des Stromrauschens (Abb.~13) ein Amplitudenband, das nur von einigen wenigen Peaks von diesen aber sehr weit "ubertroffen wird. Und zweitens sind in der FFT (14, 6a) einige scharfe Peaks in dem Bereich zu erkennen, der durch den Tiefpass eigentlich schon stark unterdr"uckt ist. Die Peaks sind ann"ahernd "aquidistant im Abstand von 5,3-5,5~kHz; den bei weitem gr"o"sten Teil der Intensit"at vereint der Peak bei 32,3~kHz auf sich. M"oglicherweise handelt es sich bei dieser Frequenz genau um die horizontale Ablenkfrequenz des Monitors: je nachdem, ob das Display 480 oder 600 Zeilen anzeigt entrspr"ache dies einer Bildrate zwischen 50 und 67~Hz, was durchaus im Bereich des "ublichen ist. Zur Illustration des Einflusses dieses Signals auf das Rauschsignal ist in Abb.~6b ein Teil des Oszillogrammes mit der von den Peaks erzeugten Welle noch einmal vergr"o"sert abgebildet. \begin{table}[htpb] \begin{center} \begin{tabular}{|l|ccc|} \hline \textbf{Spannung} & $V_{pp}$ in Volt & \vs in Volt & $\vs/(\vs)_0$ \\ \hline Monitor & 1,66E-02 & 2,53E-03 & [0,266] \\ Erhitzen & 1,52E-02 & 2,37E-03 & [0,249] \\ Netzger"at & 1,80E-02 & 2,43E-03 & [0,255] \\ Wechselspannung & 1,48E-02 & 2,36E-03 & [0,247] \\ \hline \textbf{Strom} &$V_{pp}$ in Volt& \vs in Volt & $\vs/(\vs)_0$ \\ \hline Monitor & 6,56E-01 & 6,53E-02 & 1,812 \\ Erhitzen & 3,62E-01 & 5,51E-02 & 1,528 \\ Wechselspannung & 2,36E-01 & 3,57E-02 & 0,992 \\ \hline \end{tabular} \caption{Ver"anderung des Rauschens unter externen St"orungen}\label{stoer} \end{center}\end{table} \section{Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse} Im ersten Versuchsteil wurden durch geeignete Dimensionierung der $RC$-Glieder f"ur die Hochpassfilter mit zufriedenstellender Genauigkeit die gew"unschten Grenzfrequenzen erreicht, die gemessenen Bode-Plots entsprachen gut dem Modell. Der Einfluss der \frspr{slew rate} auf die Verst"arkung bei hohen Frequenzen wurde beobachtet. Im zweiten Versuchsteil wurden Messergebnisse f"ur Rauschspannung und Rauschstrom der drei Operationsverst"arker ermittelt, die im plausiblen Bereich liegen; eine genaue "Uberpr"ufung konnte leider nicht erfolgen, da in den Datasheets der Hersteller, die im Internet verf"ugbar sind, keine Rauschdaten angegeben sind. Im dritten Versuchsteil konnte der Einfluss externer St"orungen insbesondere in Form elektromagnetischer Signale auf eine unabgeschirmte Verst"arkerschaltung nachgewiesen werden. \bibliography{a} \bibliographystyle{gerplain} \end{document}