\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article} \usepackage{a4,ngerman,amsmath,amssymb,graphicx} \newcommand{\rbl}{$^{85}$Rb } %Rb leicht \newcommand{\rbs}{$^{87}$Rb } %Rb schwer \newcommand{\di}{\ensuremath{D_1}} \newcommand{\ithr}{\ensuremath{I_{thr}} } \newcommand{\term}[2]{\ensuremath{\smash{#1_{#2}}}}% #1:Nl #2:J \newcommand{\termh}[2]{\term{#1}{#2/2}} %Term mit halbzahligem J #2/2:J \newcommand{\we}[2]{\ensuremath{#1\text{ #2}}} %Wert mit Einheit \newcommand{\ee}[1]{\cdot10^{#1}} %Zehnerpotenz-Darstellung \newcommand{\fsr}{\ensuremath{\Delta \nu_{FSR}}} \newcommand{\fwhm}{\ensuremath{\Delta \nu_{FWHM}}} \newcommand{\erg}[2]{\ensuremath{\mathbf{#1}\textbf{ #2}}}%ergebnis \author{Michael Nirschl, Moritz Ringler} \title{Protokoll zum FP-Versuch A246\\Hochaufl"osende Laserspektroskopie} \date{05./06.06.2000} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \section{Thema}%Moritz In diesem Versuch wird das Absorptionsspektrum von Rubidium in seiner nat"urlichen Isotopenmischung im Bereich \we{794}{nm} (\di-Linien) aufgenommen. Die Hyperfeinstruktur des \termh{5P}{1}-Termes bzw. die daraus resultierende Aufspaltung der \di-Linien wird dabei mit Methoden der Laserspektroskopie vermessen. \section{Theorie}%Moritz Im folgenden wird kurz das zum Verst"andnis der einzelnen Komponenten und der Methode des Versuchs Notwendige erl"autert, soweit es "uber elementare Kenntnisse aus den Bereichen Halbleiterdioden, Laser und Atomspektren hinausgeht. F"ur eine detailliertere Er"orterung sei auf die Versuchsanleitung \cite{VB_A246} und auf die dort zitierte Literatur\footnote{Quantitative Angaben in diesem Abschnitt sind, au"ser wo eine explizite Angabe erfolgt, einer dieser Quellen entnommen.} verwiesen. \subsection{Diodenlaser} \subsubsection{Funktionsweise und Charakteristika} Ein Diodenlaser ist eine Halbleiterdiode, die Laserstrahlung emittiert, wenn sie in richtiger Polung von einem Strom durchflossen wird. Der Einfachheit halber sei das Prinzip dieses Lasers hier am Bild eines einfachen pn-"Uberganges erl"autert. Der Ladungstr"agertransport einer solchen Diode vollzieht sich im wesentlichen im Valenzband des p-dotierten Teiles (durch L"ocherleitung) und im Leitungsband des n-dotierten Teiles (durch Elektronen); die Differenz zwischen der maximalen Energie im Valenzband und der minimalen Energie im Leitungsband ist die Gapenergie $E_G$. Am pn-"Ubergang der Diode befindet sich im stromlosen Fall die ladungstr"agerarme Zone. Legt man nun eine Spannung in Durchlassrichtung an, d.\,h. Pluspol an p-Bereich und Minuspol an n-Bereich, so driften von beiden Seiten die Majorit"atsladungstr"ager in die Sperrschicht. Dort erfolgen dann "Uberg"ange der aus dem n-Bereich einwandernden Elektronen aus dem Leitungsband in das Valenzband (L"ocher aus dem p-Bereich) oder mit anderen Worten, die einwandernden L"ocher und Elektronen rekombinieren. Durch die Wahl geeigneter Halbleiter und geeignete Dotierung kann erreicht werden, dass ein gro"ser Teil dieser "Uberg"ange optisch erfolgt, dass also die freiwerdende Energie $E_G$ in Form eines Lichtquants der Frequenz $\frac{E_G}{h}$ abgegeben wird. Die Linienbreite $\Delta k$ dieses spontanen "Uberganges liegt im allgemeinen bei etwa \we{100}{cm$^{-1}$}, da er ja nicht zwischen zwei diskreten Niveaus sondern zwischen zwei Energie\textsl{b"andern} erfolgt. Indem man das Strahlungsfeld durch geeignete Ma"snahmen in der aktiven Zone einschlie"st und den Halbleiterkristall entweder selbst als Resonator benutzt oder in einen externen Resonator einbringt, kann man weiterhin erreichen, dass der Prozess der stimulierten Emission den der spontanen Emission "uberwiegt und dass die Diode ab einer gewissen Stromst"arke \ithr Laserstrahlung in der Ebene der aktiven Zone (senkrecht zur Stromrichtung) emittiert. Der Diodenlaser ist ein ann"ahernd ideales Vierniveausystem: Der Pumpprozess erfolgt "uber das Einbringen von Elektronen in das Leitungsband am Rande der aktiven Zone (Niveau 1) von dort wechseln sie w"ahrend einer Zeitdauer im Picosekundenbereich durch den Elektronenleitungsprozess in das metastabile Niveau~2, das Leitungsband in der aktiven Zone; die Zerfallszeit dieses Zustands liegt in der Gr"o"senordnung von Nanosekunden. Von dort erfolgt der Laser"ubergang in das Valenzband der aktiven Zone (Niveau 3). Dieses Niveau wird dann "uber den L"ocherleitungsprozess wieder sehr schnell in das vierte Niveau entleert. Bei einem Diodenlaser kann also bereits bei relativ geringem Energieinput hohe Besetzungsinversion erreicht werden. Diodenlaser erreichen daher eine Effizienz von bis zu 50\% und $cw$-Outputleistungen\footnote{$cw=$\textsl{continous wave}; also im kontinuierlichen, nicht-gepulsten Betrieb} "uber \we{20}{mW}. Die Outputleistung ist dabei "uber einen weiten Bereich proportional zum Strom $I-\ithr$, die Steigung der Geraden hei"st \textsl{slope efficiency}. Der mit verschiedenen Diodenlasern abdeckbare Wellenl"angenbereich erstreckt sich vom fernen Infrarot (\we{60}{$\mu$m}) bis in den sichtbaren Bereich (\we{550}{nm}). Der Modenabstand eines Lasers, bei dem der Kristall als Resonator genutzt wird, ist mit etwa \we{10^{10}}{Hz} aufgrund der kleinen longitudinalen Abmessungen des Halbleiterkristalls gro"s ($\delta \nu \sim \frac{c}{2nL}$), so dass Einmodenbetrieb leicht gew"ahrleistet werden kann. Die kleinen und unsymmetrischen transversalen Abmessungen der aktiven Zone bewirken eine relativ hohe und unsymmetrische Strahldivergenz, die durch eine geeignete Kollimatorlinse behoben werden muss. \subsubsection{Durchstimmung} Um ein Atomspektrum in der Umgebung einer Resonanz aufzunehmen, ben"otigt man eine Lichtquelle, deren Frequenz "uber den interessierenden Bereich (\textsl{ROI}) kontinuierlich ver"andert werden kann, man nennt dies auch "`durchstimmen"' der Lichtquelle. Theoretisch ist der durchstimmbare Bereich eines Diodenlasers erst einmal durch die Linienbreite des "Uberganges aus dem Leitungs- ins Valenzband begrenzt. Allerdings kann dieser gro"se Bereich nur zu einem kleinen Teil genutzt werden, was verst"andlich wird, wenn man die zur Ver"anderung der Laserfrequenz genutzten Methoden betrachtet: in diesem Versuch Temperatur"anderung und Variation des Diodenstromes. Diese verschieben sowohl das Verst"arkungsprofil des aktiven Mediums (Verschiebung der Bandgrenzen) als auch das Modenprofil des Resonators (prim"ar "uber die "Anderung des Brechungsindizes mit der Temperatur). Da dies asynchron geschieht, treten Modenspr"unge auf, wenn eine neue Resonatormode an eine g"unstigere Stelle im Verst"arkungsprofil ger"uckt ist. M"ochte man echt kontinuerliche Durchstimmung erreichen, so muss man einen "au"seren Resonator benutzen, dessen Moden man gezielt manipulieren kann. In unserem Fall wird eine sogenannte Littrow-Anordnung benutzt \cite[Abb.~1]{VB_A246}, im wesentlichen wird dabei ein Gitter als "au"serer Resonator-"`Spiegel"' genutzt. Da nur das Beugungsmaximum der Ordnung~$-1$ in den Laser zur"uckgekoppelt wird, kann man "uber den Gitterwinkel gezielt eine Frequenz selektieren.\\Im Versuch kann langfristig die Diodentemperatur gesteuert werden, um die Laserfrequenz in den richtigen Bereich zu bringen. F"ur die einzelenen Scans werden in einer sog. \textsl{feed-forward}-Schaltung der Gitterwinkel und der Diodenstrom ver"andert, um ein kontinuierliches, (relativ) lineares Durchfahren des interessierenden Frequenzbereiches zu erreichen. \subsection{Fabry-P\'{e}rot-Etalon} Das Fabry-Perot-Etalon (FPE) wird im Versuch als Frequenznormal (Skala) genutzt. Im wesentlichen besteht ein FPE aus zwei (beim ebenen FPE planparallelen) Spiegeln festen Abstands. Aufgrund von Vielstrahlinterferenz ist die Transmission eines FPE abh"angig von Einfallswinkel und Frequenz des eingestrahlten Lichtes gem"a"s \begin{align} I_T&=I_0 \frac{1}{1+F^2\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)}\label{gl.fpe}\\ \intertext{wobei} F&=\frac{4R}{(1-R)^2}\label{gl.fvr}\\ \delta&=2\pi\Delta s/\lambda+\Delta \Phi\\ \Delta s&=2d\sqrt{n^2-\sin^2(\alpha)} \end{align} Dabei sind:\\ $R$ Reflektionsverm"ogen der Spiegel,\\ $\Delta s$ optischer Wegunterschied zweier benachbarter Teilstrahlen,\\ $\Delta \Phi$ Phasensprung bei Reflexion,\\ $d$ Abstand der Spiegel,\\ $n$ Brechungsindex des Zwischenspiegelmediums,\\ $\alpha$ Einfallswinkel zum Spiegel.\\ Die transmittierte Intensit"at in Abh"angigkeit von $\delta$ ist in Abb.~\ref{abb.fpe} aufgetragen. \begin{figure}[hbtp] \begin{center} \includegraphics{fpe} \end{center} \caption{Transmission des Fabry-P\'{e}rot-Etalons}\label{abb.fpe} \end{figure} Aus der oben gegebenen Formel Gl.~\eqref{gl.fpe} ergibt sich f"ur senkrechten Einfall der Frequenzabstand zwischen zwei Maxima, der freie Spektralbereich \fsr, zu: \begin{equation} \fsr=\frac{c}{2nd} \end{equation} Dazu kommen dann noch transversale Moden, die im Falle des verwendeten konfokalen Resonators zu einer Verringerung von \fsr\/ um den Faktor $2$ f"uhren.\newline Falls $F\gg 1$ gilt ferner f"ur die Halbwertsbreite der Transmissions-Peaks: \begin{equation} \fsr=\frac{c}{2nd} \end{equation} Die durch das Reflexionsverm"ogen bestimmte Finesse $\mathcal{F}$ des FPE ist definiert als \begin{equation} \begin{split} \mathcal{F}&=\frac{\fsr}{\fwhm}\\ &=\frac{\pi}{2}\sqrt{F} \end{split} \label{gl.fns}\end{equation} F"ur das Aufl"osungsverm"ogen des FPE $\frac{\nu}{\fwhm}$ gilt: \begin{equation} \frac{\nu}{\fwhm}=\frac{2nd}{\lambda}\mathcal{F}\label{gl.afl}\end{equation} \subsection{Rubidiumspektrum, Hyperfeinstruktur} Das Rubidiumspektrum ist das typische Spektrum eines Alkalimetalls. Rubidium hat die Elektronenkonfiguration [Kr]$5s^1$, d.h. neben abgeschlossenen Schalen gibt es ein einzelnes ungepaartes Elektron im $5s$-Niveau. Die an optischen "Uberg"angen beteiligten Atomterme sind deshalb in erster Linie Anregungen des $5s$--"`Leuchtelektrons"', und so sind sie auch benannt (mit Gro"sbuchstaben). Die prominenteste Linie im Rb-Spektrum ist die sogenannte $D$-Doppellinie, die dem "Ubergang zwischen dem durch Spin-Bahn-Kopplung feinstrukturaufgespaltenen \term{5P}{}-Niveau und dem \term{5S}{}-Niveau entspricht. Im Versuch wird nur der $D_1$-"Ubergang niedrigerer Frequenz $\termh{5P}{1}\rightarrow\termh{5S}{1}$ bei \we{794.760}{nm} \cite{NIST::1999} gemessen. Aufgrund der unterschiedlichen reduzierten Massen und der unterschiedlichen Kernvolumina hat diese Linie in den beiden nat"urlich vorkommenden Rb-Isotopen \rbl (72.165\%) und \rbs (27.835\%) \cite{Pfennig::1998} leicht unterschiedliche Wellenl"angen. Au"serdem sind die beiden Niveaus durch die Kopplung von Kernmoment $\vec{I}$ und Elektronmoment $\vec{J}$ Hyperfeinstruktur-aufgespalten. Eine (nicht ma"sstabsgetreue) Skizze der relevanten Niveaus findet sich in Abb.~\ref{abb.trm}. \begin{figure}[hbtp]\begin{center} \includegraphics{terme} \end{center}\caption{Skizze der am untersuchten "Ubergang beteiligten Rb-Terme}\label{abb.trm}\end{figure} Die verschiedenen Eigenwerte des Gesamtmomentes $\vec{F}$ ergeben sich dabei aus der Clebsch-Gordon-Zerlegung \begin{equation*}V_I \otimes V_J \cong V_{I+J} \oplus V_{I+J-1} \oplus \dots \oplus V_{|I-J|} \end{equation*} mit $J=1/2$ und dem Kernmoment $I=5/2$ f"ur \rbl und $I=3/2$ f"ur \rbs. Die Energieaufspaltung $\Delta E$ eines Termes mit den Quantenzahlen $F,I,J$ ist analog zur Spin-Bahn-Kopplung gegeben durch: \begin{equation}\Delta E=\frac{A(\term{nL}{J})}{2}\left[F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right]\label{gl.hfe}\end{equation} Hierbei ist $A(\term{nL}{J})$ die Hyperfeinstrukturkonstante des gesplitteten Elektrontermes. F"ur die Rubidiumterme aus Abb.~\ref{abb.trm} ergeben sich damit folgende Aufpaltungen:\newline \rbs $\Delta E_{F=1}=-\frac{5}{4}A(\term{nL}{J})$, $\Delta E_{F=2}=\frac{3}{4}A(\term{nL}{J})$\\[5pt] \rbl $\Delta E_{F=2}=-\frac{7}{4}A(\term{nL}{J})$, $\Delta E_{F=3}=\frac{5}{4}A(\term{nL}{J})$\\ \subsection{Absorptionsspektroskopie} Bei der Laser-Absorptionsspektroskopie bestrahlt man eine Probe des zu untersuchenden Gases mit monochromatischem Laserlicht variabler Frequenz und registriert "uber den interessierden Frequenzbereich die transmittierte Intensit"at; in der N"ahe einer Resonanz gilt f"ur den Absorptionskoeffizienten des ruhenden Mediums, wenn man den Einfluss der "ubrigen Resonanzen vernachl"assigt: \begin{equation}\kappa(\nu)=\kappa_0\frac{(\Delta \nu/2)^2}{(\nu-\nu_0)^2+(\Delta \nu/2)^2}\label{gl.abk}\end{equation} Diesem Lorentzprofil wird in einem Gas mit Maxwell-Geschwindigkeitssverteilung $n(v_x)\propto e^{-(v_x/v_w)^2}$ durch die Bewegung der Atome in der Probe zus"atzlich noch ein Doppler-Gaussprofil \begin{equation}\propto\exp\left(-\left(\frac{c(\omega-\omega_0)}{(\omega_0v_w)}\right)^2\right)\label{gl.dpp}\end{equation} "uberlagert ($v_w$: wahrscheinlichste Geschwindigkeit $\smash{=\sqrt{2kT/m}}$). Die Halbwertsbreite dieses Dopplerprofils \begin{equation}\Delta \nu_D=\frac{\nu_0}{c}\sqrt{8kT\ln(2)/m}\label{gl.dpb}\end{equation} "ubersteigt im vorliegenden Fall die nat"urliche Linienbreite \begin{equation}\Delta \nu=(2\pi\tau)^{-1}\label{gl.nlb}\end{equation} bei weitem (gr"o"senordnungsm"a"sig \we{500}{MHz} gegen \we{10}{MHz}). Das aus der Faltung des nat"urlichen und des Doppler-Linienprofils resultierende Profil nennt man Voigtprofil.\\ Die Dopplerverbreiterung ist dabei ein Beispiel f"ur eine inhomogene Linienverbreiterung, d. h. in einem Frequenzbereich tr"agt jeweils nur eine Klasse von Atomen zur Absorption bei; die nat"urliche Linienbreite ist dagegen eine homogene Linienverbreiterung, d.\,h. die Absorptionswahrscheinlichkeit bei einer bestimmten Frequenz ist f"ur alle Atome gleich gro"s. \subsubsection{Dopplerbegrenzte Spektroskopie} Bei der dopplerbegrenzten Spektroskopie wird die maximal erreichbare Aufl"osung durch die Breite des Voigtprofils bestimmt, die wiederum durch die Breite des Dopplerprofils dominiert wird. Die maximal aufl"osbare Frequenzdifferenz entspricht daher etwa \we{500}{MHz} (Rayleigh-Kriterium). Die Linienbreite des Lasers betr"agt etwa \we{1}{MHz} \cite[S.~7]{VB_A246} und kann hier wie auch im folgenden vernachl"assigt werden. \subsubsection{S"attigungspektroskopie} Da man mit dem Laser eine monochromatische Lichtquelle mit hoher r"aumlicher Leistungsdichte zur Verf"ugung hat, ist es m"oglich das Gebiet der linearen, dopplerbegrenzten Spektroskopie zu verlassen. Mit wachsender eingestrahlter Intensit"at wird der Grundzustand des angeregten "Uberganges immer mehr entleert und der angeregte Zustand st"arker bev"olkert, bis im Grenzfall $I\rightarrow\infty$ Gleichbesetzung erreicht wird (Inversion kann im 2-Niveau-System nicht erzeugt werden, da der Einsteinkoeffizient f"ur induzierte Emission gleich dem f"ur Absorption ist). Der S"attigungsparameter des "Uberganges ist \begin{equation} \begin{split} S &=\frac{2B_{ge}I/c}{\gamma_g+\gamma_e}\\ &=:I/I_{sat} \end{split}\label{gl.spm} \end{equation} wobei $B_{ge}$ der Einsteinkoeffizient f"ur induzierte "Uberg"ange (Absorption und stimulierte Emission) zwischen den Niveaus $g$ und $e$ ist, $I$ die eingestrahlte Intensit"at und $\gamma_i$ die Relaxationsrate des Niveaus $i$ (Herleitung von Gl.\eqref{gl.spm} in \cite[Kap.~7]{Demtroeder::1993}). Die S"attigung f"uhrt zu einer Verbreiterung des homogenen Linienprofils gem"a"s \begin{equation}\kappa(\nu)=\kappa_0\frac{(\Delta \nu/2)^2}{(\nu-\nu_0)^2+(\Delta \nu/2)^2(1+S)}\label{gl.svb}\end{equation} d.\,h. die Linienbreite erh"oht sich um den Faktor $\sqrt{1+S}$. Durchf"ahrt man nun mit einem einzigen Laser die gesamte dopplerverbreiterte Resonanz, so ergibt sich bei jeder Frequenz $\omega$ im \emph{inhomogen} verbreiterten Profil S"attigung f"ur die Atomklasse mit dieser Frequenz. Das lokale Minimum in der Besetzung des Grundzustandes bei der Geschwindigkeit $v_x=(\omega-\omega_0)/k$ hei"st Bennet-Loch. Es hat die s"attigungsverbreiterte homogene Breite $\Delta \nu_s=\Delta\nu\sqrt{1+S}$, und das Minimum liegt um den Faktor $S/(1+S)$ unter der s"attigungsfreien Besetzungsdichte. Da dies aber bei allen Frequenzen gleicherma"sen der Fall ist, erh"alt man als resultierendes Profil wieder ein Voigtprofil, das um den Faktor $\sqrt{1+S}$ unter dem ohne S"attigung gemessenen Profil liegt. Teilt man jedoch den Laserstrahl in einen Pumpstrahl hoher Leistungsdichte und einen Abtaststrahl niedriger Leichtungsdichte und l"asst diese beiden Strahlen in entgegengesetzter Richtung auf die Probe treffen, so kann man das Benett-Loch als Lamb-Dip in der Absorptionskurve des Abtastlasers wahrnehmen. Stimmt man n"amlich den Laser durch, so s"attigt der Pumplaser Atome mit Geschwindigkeitskomponente $v_x=+(\omega-\omega_0)/k$, w"ahrend der Abtastlaser von Atomen mit Geschwindigkeit $v_x=-(\omega-\omega_0)/k$ absorbiert wird. Damit wird aber lediglich in der N"ahe der Resonanzfrequenz, wo beide Laser mit der gleichen Klasse von Atomen ($v_x=0$) wechselwirken, der Einfluss der S"attigung sichtbar. Als Ergebnis zeigt sich hier bei der Resonanzfrequenz $\omega_0$ im Spektrum eine Vertiefung mit der Breite $\Delta\nu_s$.\\ Betrachtet man zwei benachbarte Resonanzen, deren Dopplerprofile sich "uberlagern, so ergibt sich ein zus"atzlicher Lambdip bei der Atomgeschwindigkeit $v_x$ mit $kv_x=\omega-\omega_0^{(1)}=-(\omega-\omega_0^{(2)})$, also in der Mitte der beiden Resonanzen (\textsl{cross-over-resonance}). \section{Beschreibung}%Aufbau und Durchf"uhrung \subsection{Intensit"atsmessung}%Michael Bei diesem Versuchsteil messen wir die vom Laser emittierte Intensit"at. Dabei variieren wir den Diodenstrom in der Laserdiode, und messen die Abh"angigkeit der Ausgangsleistung. Die Intensit\"{a}t wird mit einer Photodiode, die zur Verwendung mit dem nachgeschalteten Powermeter geeicht ist, gemessen, nachdem wir den Laserstrahl abgeschw"acht haben, um den Me"sbereich des Powermeters nicht zu verlassen. Aus dieser Anordnung kann man zum einen den Schwellwert $I_{thr}$ bestimmen, bei dem der Laserbetrieb einsetzt, und zum anderen die nachfolgende Steigung der Leistung mit dem Diodenstrom. Dies haben wir beides mit einem Geradenfit bewerkstelligt. Der x-Achsenabschnitt gibt dann den Schwellenstrom an, die Steigung entsprechend die Steigerung der Leistung mit dem Diodenstrom. \subsection{Fabry-P\'{e}rot-Etalon als Frequenznormal}%Moritz Um f"ur die aufzunehmenden Spektra ein Frequenznormal zu haben, wird ein Fabry-P\'{e}rot-Etalon aufgebaut. Mit Hilfe des sichtbaren Piltolasers wird dazu eine Anordnung wie in \cite[Abb. 7]{VB_A246} dargestellt aufgebaut. Der Strahl wird auf einen Glaskeil geschickt. Die Reflexion von der Vorderseite und der transmittierte Strahl werden geblockt und die Reflexion von der R"uckseite wird durch eine Lochblende geschickt, um den Strahlquerschnitt zu verkleinern. "Uber zwei Spiegel wird der Laser von dort durch das FPE gelenkt, danach wird er mit einer Linse auf eine Photodiode fokussiert, deren Ausgang an einen Oszilloskop-Kanal angeschlossen wird. Das Oszilloskop wird mit dem Triggerausgang der Scan-Control (Durchstimm-Einheit) des Diodenlasers getriggert. Zur Strahljustierung benutzen wir \textsl{beamwalking}, dabei steuert man erst durch Ausrichtung des ersten Spiegels den Eingang des FPEs an und versucht dann nach Entfernung des FPE-Rohres durch Ausrichtung des zweiten Spiegels die Position des Rohrausganges zu treffen. Dieses Verfahren wird iteriert. \subsection{Lineare Spektroskopie}%Moritz Im n"achsten Schritt wird die Anordnung f"ur lineare Spektroskopie gem"a"s \cite[Abb.~7]{VB_A246} aufgebaut. Dazu wird der am Glaskeil transmittierte Strahl "uber zwei Spiegel durch die Proben-Zelle gelenkt und hinter dieser mit einer Linse auf eine weitere Photodiode fokussiert. \subsection{Nichtlineare Spektroskopie}%Michael Nun haben wir den Aufbau zur linearen Spektroskopie erweitert, um eine S"attigungsspektroskopie vorzunehmen \cite[Abb.~8]{VB_A246}. Den bisherigen Laserstrahl durch die Rb-Zelle verwenden wir als Pumplaser weiter. Den zweiten bisher geblockten Reflex des Keils verwenden wir nun als Probelaser. Dazu lenken wir ihn mit einem Spiegel in Gegenrichtung zum Pumplaser durch die Rb-Zelle. Um m"oglichst starke S"attigung zu beobachten, haben wir darauf geachtet, da"s sich Pump- und Probelaser in der Rb-Zelle m"oglichst gut "uberlappen. Dazu m"ussen die Strahlen so justiert werden, da"s sie die Apparatur ungef"ahr parallel durchlaufen und in der Rb-Zelle m"oglichst gut aufeinanderliegen. Um dann die Intensit"at des Probelasers zu messen, koppeln wir diesen mit einem Spiegel aus, und messen die Intensit"at mit einer Photodiode. Das Ergebnis, sowie die Kurve des Etalon als Eichkurve, haben wir auf einem Oszilloskop dargestellt. Dessen Daten haben wir mit einem PC ausgelesen und verarbeitet. \section{Ergebnisse und Fehler} \subsection{Intensit"atsmessung}%Michael Die von uns gemessenen Werte sind in Tabelle~\ref{tabi} aufgef"uhrt und in Abbildung~\ref{abbi} noch einmal geplottet. Wir haben einen Attenuator mit einem Faktor 0,264 verwendet und den Laser bei einer Temperatur von \we{19,1\pm0,1}{$^{o}$C} betrieben. Der Sprung im Fehler r"uhrt vom Wechsel des Me"sbereichs des Powermeters her. Die doppelten Werte f"ur gleiche Diodenstr"ome kommen daher, da"s wir einmal bei steigendem Diodenstrom und einmal bei fallendem Diodenstrom gemessen haben. Um die Werte dann zu plotten, haben wir nach dem Diodenstrom sortiert. \begin{table} \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \we{I_{in}}{[mA]}&\we{\Delta I_{in}}{[mA]}&\we{P_{out}}{[$\mu W$]}&\we{\Delta P_{out}}{[$\mu W$]}\\ \hline 3&1&0,43&0,8\\ \hline 3&1&0,43&0,8\\ \hline 7&1&0,43&0,8\\ \hline 13&1&0,43&0,8\\ \hline 13&1&0,43&0,8\\ \hline 17&1&0,43&0,8\\ \hline 23&1&0,43&0,8\\ \hline 23&1&0,43&0,8\\ \hline 29&1&0,43&0,8\\ \hline 31&1&0,43&0,8\\ \hline 31&1&0,43&0,8\\ \hline 37&1&0,43&8\\ \hline 37&1&0,43&8\\ \hline 39&1&0,43&8\\ \hline 41&1&0,43&8\\ \hline 41&1&0,43&8\\ \hline 45&1&0,43&8\\ \hline 50&1&0,43&8\\ \hline 50&1&0,43&8\\ \hline 55&1&0,43&8\\ \hline 55&1&0,43&8\\ \hline 60&1&0,43&8\\ \hline 64&1&0,43&8\\ \hline \end{tabular} \caption{Me"swerte der Ausgangsleistungen bei verschiedenen Diodenstr"omen}\label{tabi} \end{table} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{i}} \caption{Abh"angigkeit der Ausgangsleistung vom Diodenstrom}\label{abbi} \end{figure} Den Geradenfit haben wir auf den Beginn des ansteigenden Bereichs beschr"ankt, da weiter rechts unser Powermeter bereits in S"attigung ging, und somit die Daten verf"alscht wurden. Aus den Werten des Geradenfits ergibt sich ein Schwellenstrom von $I_0=\frac{-c}{m}=\we{36,34\pm7,04}{mA}$, sowie eine Slope Efficiency von $m=11,15\pm1,44\frac{mW}{A}$, die man auch als Quanteneffizienz ausdr"ucken kann, wobei man ausn"utzt, da"s die Wellenl"ange \we{794}{nm} betr"agt. F"ur diese erh"alt man \we{0,00714\pm0,00092}{Photonen pro Elektron}. \subsection{Fabry-P\'{e}rot-Etalon als Frequenznormal}%Moritz Nach Gl.~\eqref{gl.fns} und Gl.~\eqref{gl.fvr} ergibt sich die Finesse eines FPE mit $R=90\%$ zu $\mathcal{F}=29.8$. Der freie Spektralbereich des verwendeten FPE wurde (nicht in diesem Versuch) zu $\fsr=\we{149.9348(2)}{MHz}$ bestimmt. Daraus ergibt sich eine theoretische Halbwertsbreite $\fwhm=\we{5.03073\dots}{MHz}$. Die im Versuch gemessene Trasmissionskurve des FPE ist in Abb.~\ref{abb.fp2} wiedergegeben. Ihr wurde mit dem Nichtlinearen Fitter eine Airy-Funktion angepasst. Der Airy-Fit (mit Untergrund und x-Offset) ergibt f"ur die aufgenommene Transmissionskurve die Gleichung \begin{equation}U=\we{17.38}{mV}\,\frac{1}{1+10.7\sin^2\left(\we{1495}{s$^{-1}$}(t-\we{0.0100}{s})\right)}+\we{0.5}{mV}\label{gl.ary}\end{equation} mit den Fehlern wie in Abb.~\ref{abb.fp2} angegeben. \begin{figure}[p]\begin{center}\includegraphics{fpe2}\end{center}\caption{Transmission des Fabry-P\'{e}rot-Etalons und Airy-Fit}\label{abb.fp2}\end{figure} Daraus ergibt sich also ein $F$-Wert von $F=10.7\pm1.1\%$ und damit nach Gl.~\eqref{gl.fns} eine Finesse von $\mathbf{\mathcal{F}=5.14\pm0.06}$. Au"serdem werden die Peakpositionen bestimmt und mit einem Geradenfit, bei dem der oben angegebene Wert f"ur den Peakabstand \fsr\/ benutzt wird, wird folgende Zeit-Frequenzeichung erstellt \begin{equation}\nu=\we{(32.9\pm1.2)}{MHz}+\we{(71570\pm180)}{MHz}\cdot t/\text{s}\label{gl.tnu}\end{equation} Die Halbwertsbreiten und Positionen der einzelnen Peaks sind: \begin{tabbing} Peak\qquad \=\fwhm\qquad\quad\qquad \=t\\ 1 \>\we{0.44}{ms} \>\we{1.62}{ms} \\ 2 \>\we{0.43}{ms} \>\we{3.74}{ms} \\ 3 \>\we{0.44}{ms} \>\we{5.84}{ms} \\ 4 \>\we{0.44}{ms} \>\we{7.93}{ms} \\ 5 \>--- \>\we{10.00}{ms} \\ $\varnothing$ \>\we{(0.44\pm0.01)}{ms}\>\we{2.100\pm0.005}{ms} (durchschnittlicher Peakabstand)\\ $\varnothing$ \>\we{(31.31\pm0.71)}{MHz}\> \end{tabbing} wobei f"ur die Ablesefehler der einzelnen Daten ein Wert von \we{0.02}{ms} angesetzt wurde. Daraus ergibt sich eine Finesse von $\mathbf{\mathcal{F}=4.77\pm0.11}$. Bei diesem Wert ist allerdings zu beachten, dass der Untergrund der Photodiode nicht ber"ucksichtigt worden ist, weshalb die Halbwertsbreite etwas zu tief abgelesen wurde und der angegebene Wert f"ur die Finesse etwas zu klein ausf"allt. Im Rahmen dieses Vorbehaltes wird der aus dem Fit erhaltene, genauere Wert best"atigt. Der von uns gemessene Wert f"ur die Finesse von etwa $5$ liegt erheblich unter dem theoretisch berechneten von etwa $30$. Dies mag zum einen daran liegen, dass die Finesse nicht allein durch die Reflektivit"at der Spiegel sondern auch noch durch Abweichungen der Oberfl"achen von der richtigen Form und unvollst"andige Parallelit"at beeinflusst wird. Die Gesamtfinesse errechnet sich dabei als Kehrwert der Summe der reziproken Einzelbeitr"age. Eventuell kam dann noch hinzu, dass die Spiegelreflektivit"at durch Staub oder "ahnliches verringert war. Ein Faktor zwei r"uhrt m"oglicherweise daher, dass aufgrund der Transversalmoden der freie Spektralbereich halb so gro"s ist wie beim ebenen FPE. \subsection{Lineare Absorptionspektroskopie der \di-Linien von \rbl und \rbs}%Moritz \subsubsection{Interpretation des Spektrums} Um das erhaltene Spektrum auszuwerten, wird in mehreren Schritten vorgegangen. Zun"achst soll die Zeitskala des Oszillgrammes in Frequenzeinheiten umgeeicht werden. Dazu werden die Peaks der Etalon-Transmission bestimmt (Abb.~\ref{abb.ls1}). Diese haben den genau bekannten Frequenzabstand \fsr. Damit wird dann eine Eichkurve Frequenz gegen Zeit erstellt (nicht abgebildet). Diese Kurve wird interpoliert, d.\,h. f"ur alle 2046 $t$-Werte des Oszillogramms werden entsprechende $\nu$-Werte berechnet. Dann werden die Spannungsmesswerte gegen die Frequenzwerte aus der Interpolation aufgetragen. Die Positionen der Etalon-Peaks k"onnen sehr genau bestimmt werden, ihr Abstand ist im Vergleich zur Skala des Spektrums recht gering und der Frequenzabstand \fsr\/ ist sehr genau bekannt, daher d"urfte der Fehler bei dieser Frequenzeichung im Vergleich zu den anderen Fehlern (s.\,u.) vernachl"assigbar sein. In dem so gewonnenen Frequenzspektrum werden die \di-Linien identifiziert und Gau"speakfits durchgef"uhrt (Abb.~\ref{abb.ls2}, Bezeichnungen aus Abb.~\ref{abb.trm}). \begin{figure}[hbtp]\begin{center}\includegraphics{ls1}\end{center}\caption{Lineare Spektroskopie: Oszillogramm mit Etalon-Transmission}\label{abb.ls1}\end{figure} \begin{figure}[hbtp]\begin{center}\includegraphics{ls2}\end{center}\caption{Lineare Spektroskopie: Rb-Spektrum mit Gau"speakfits}\label{abb.ls2}\end{figure} Die Ergebnisse der Peakfits sind in Tab.~\ref{tab.lsp} dargestellt, die zugeh"origen Fitg"uten finden sich in Abb.~\ref{abb.ls2}. Die Werte f"ur die Peakfl"ache sind mit dem ersten 3-Peak-Fit umnormiert worden auf die in \cite[Abb.~2]{VB_A246} gegebenen Werte (Summe der drei experimentellen Peakfl"achen = Summe der drei bzw. vier theoretischen Intensit"aten), die angegebene Breite ist der $2\sigma$-Wert. \begin{table}[hbtp]\begin{center} \begin{tabular}{|l|rrrrrrr|} \hline Peak & Frequenz & Fehler & Breite & Fehler & Fl"ache (th) & Fl"ache & Fehler\\ & (MHz) & (MHz) & (MHz) & (MHz) & & & \\ \hline A & 1353 & 2.0 & 499.8 & 5.3 & 45.0 & 37.1 & 0.5 \\ a & 2128 & 2.1 & 384.6 & 4.8 & 45.0 & 26.0 & 0.3 \\ D,d & 3000 & 0.7 & 642.2 & 2.0 & 126.0 & 152.9 & 0.6 \\ \hline C,c & 6210 & 1.5 & 549.4 & 4.0 & 90.0 & 99.6 & 0.9 \\ \hline B & 8240 & 15.1& 312.4 & 33.7& 9.0 & 3.8 & 0.4 \\ b & 9025 & 3.4 & 480.5 & 8.8 & 45.0 & 29.6 & 0.6 \\ \hline \end{tabular}\end{center}\caption{Dopplerpeaks des Rubidiumspektrums (linear)}\label{tab.lsp}\end{table} Es ist anzumerken, dass insbesondere die Peakfl"achen einen gr"o"seren Fehler haben als in Tab.~\ref{tab.lsp} angegeben, da die Baseline nicht waagerecht verl"auft (kein konstanter Untergrund). Dies liegt daran, dass dem Spektrum die Dreiecksfunktion des durch die Feed-Forward-Schaltung der Scan-Control variierten Diodenstromes aufgepr"agt ist. Daher w"are es kommenden Gruppen vielleicht zu empfehlen, eine Referenzmessung ohne Probe durchzuf"uhren, um von den Messwerten der Referenzmessung dann das aufgenommene Spektrum zu subtrahieren. Dies setzt nat"urlich einen stabilen Laserbetrieb voraus, damit die beiden zeitlich getrennten Messungen vergleichbar bleiben. Hier m"ochte ich den zus"atzlichen Fehler absch"atzen, indem ich die steigende Flanke (nur die interessiert) einer per Augenfit bestimmten Dreiecksgrundlinie vom Spektrum subtrahiere und die Peakpositionen neu bestimme (Abb.~\ref{abb.lsb}, Tab.~\ref{tab.lsb}). Die Abweichung von den in Tab.~\ref{tab.lsp} gegebenen Werten gibt eine Absch"atzung f"ur den Baseline-Fehler. \begin{figure}[hbtp]\begin{center}\includegraphics{lsb} \end{center}\caption{Lineare Spektroskopie: Rb-Spektrum Baseline-Korrektur}\label{abb.lsb}\end{figure} \begin{table}[hbtp]\begin{center} \begin{tabular}{|l|rrrrrr|} \hline Peak & Frequenz & Abweichung & Breite & Abweichung & Fl"ache & Abweichung \\ & (MHz) & (MHz) & (MHz) & (MHz) & & \\ \hline A & 1344.4 & 8.6 & 599.4 & 99.6 & 44.9 & 7.7 \\ a & 2140.5 & 12.0& 370.5 & 14.1 & 24.9 & 1.1 \\ D,d & 2995.9 & 3.9 & 640.6 & 1.6 & 146.2 & 6.7 \\ \hline C,c & 6203.0 & 7.0 & 591.0 & 41.6 & 105.2 & 5.6 \\ \hline B & 8164.5 & 75.6& 549.4 & 237.0 & 10.8 & 6.9 \\ b & 9027.8 & 3.0 & 526.0 & 45.6 & 33.6 & 4.0 \\ \hline \end{tabular}\end{center}\caption{Dopplerpeaks des Baseline-korrigierten Rubidiumspektrums}\label{tab.lsb}\end{table} Dieser Baseline-Fehler ist im Vergleich zu den auftretenden Frequenzdifferenzen relativ klein. Daher wird im folgenden mit den Peakdaten aus Tab.~\ref{tab.lsp} gerechnet, wobei als Fehler aber die Wurzel der Quadratsumme von Fitunsicherheit und Baseline-Fehler benutzt wird (Streng genommen sind die beiden Fehler nat"urlich nicht unkorreliert, aber die Korrelation ist eher schwach). \subsubsection{Hyperfeinstruktur}\label{sec.lse} Aus den Spektrallinien ergeben sich die folgenden vorl"aufigen Ergebnisse in Bezug auf die Hyperfeinstruktur der \termh{5S}{1}- und \termh{5P}{1}-Terme von Rubidium. \begin{tabbing} \rbs A(\termh{5S}{1})\quad\qquad\=\we{3210}{MHz}\quad\=\we{\pm1.7}{MHz}\qquad\=\kill \textbf{Hyperfeinstrukturaufspaltung}\\ \rbl \termh{5S}{1} \>\we{3210}{MHz} \>\we{\pm8}{MHz} \>($\nu_{C,c}-\nu_{D,d}$) \\[2pt] \rbs \termh{5S}{1} \>\we{6887}{MHz} \>\we{\pm77}{MHz} \>($\nu_B-\nu_A$) \\[2pt] \rbs \termh{5S}{1} \>\we{6896}{MHz} \>\we{\pm13}{MHz} \>($\nu_b-\nu_a$) \\[2pt] \rbs \termh{5S}{1} \>\we{6896}{MHz} \>\we{\pm13}{MHz} \>gew. Mittel \\[2pt] \rbs \termh{5P}{1} \>\we{785}{MHz} \>\we{\pm77}{MHz} \>($\nu_b-\nu_B$) \\[2pt] \rbs \termh{5P}{1} \>\we{775}{MHz} \>\we{\pm15}{MHz} \>($\nu_a-\nu_A$) \\[2pt] \rbs \termh{5P}{1} \>\we{776}{MHz} \>\we{\pm15}{MHz} \>gew. Mittel \\[2pt] \textbf{Hyperfeinstrukturkonstanten}\\ \rbl A(\termh{5S}{1}) \>\erg{1070}{MHz} \>\erg{\pm3}{MHz} \>$\frac{1}{3}(\nu_{C,c}-\nu_{D,d})$\\[2pt] \rbs A(\termh{5S}{1}) \>\we{3444}{MHz} \>\we{\pm39}{MHz} \>$\frac{1}{2}(\nu_B-\nu_A)$\\[2pt] \rbs A(\termh{5S}{1}) \>\we{3448}{MHz} \>\we{\pm6}{MHz} \>$\frac{1}{2}(\nu_b-\nu_a)$\\[2pt] \rbs A(\termh{5S}{1}) \>\erg{3448}{MHz} \>\erg{\pm6}{MHz} \>gew. Mittel \\[2pt] \rbs A(\termh{5P}{1}) \>\we{392}{MHz} \>\we{\pm39}{MHz} \>$\frac{1}{2}(\nu_b-\nu_B)$\\[2pt] \rbs A(\termh{5P}{1}) \>\we{388}{MHz} \>\we{\pm7}{MHz} \>$\frac{1}{2}(\nu_a-\nu_A)$\\[2pt] \rbs A(\termh{5P}{1}) \>\erg{388}{MHz} \>\erg{\pm7}{MHz} \>gew. Mittel \\[2pt] \end{tabbing} Hierbei ist anzumerken, dass bei \rbl durch die unbekannte Hyperfeinaufspaltung des \termh{5P}{1}-Termes ein zus"atzlicher Fehler f"ur die ermittelte Aufspaltung des \rbl \termh{5S}{1}-Termes und die daraus berechneten Hyperfeinstrukturkonstante entsteht. \subsubsection{Aufl"osung} Die minimal aufl"osbare Frequenzdifferenz d"urfte relativ nahe bei der Hyperfeinaufspaltung des \rbs \termh{5P}{1}-Termes also bei etwa \we{776}{MHz} liegen. Daraus ergibt sich mit $\nu=c/\lambda\approx\we{377.8}{THz}$ eine Aufl"osung von $\mathbf{\frac{\Delta \nu}{\nu}=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\approx2\ee{-6}}$. \subsubsection{Isotopenverschiebung} Aus den gemessenen gesplitteten Linien kann man die Frequenz der nicht aufgespaltenen \di-Linien in \rbl und \rbs zur"uckberechnen (in der benutzten Frequenzskala!), und so eine Aussage "uber die Frequenz-Verschiebung der \di-Linien durch den Isotopeneffekt treffen. Eine Aussage "uber die Lage der \emph{Terme} in \rbl und \rbs zueinander kann man daraus allein nat"urlich noch nicht treffen. \begin{tabbing} Isotopenshift\qquad \=\we{50000}{MHz}\quad \=\we{\pm1000}{MHz}\qquad \=\kill \rbl \>\we{4872}{MHz} \>\we{\pm4}{MHz} \>$\nu_{Cc}-\frac{7}{4}A(\termh{5S}{1})$\\[3pt] \> \> \>$\quad=\frac{5}{12}\nu_{Cc}+\frac{7}{12}\nu_{Dd}$\\[6pt] \rbs \>\we{4424}{MHz} \>\we{\pm5}{MHz} \>$\nu_b-\frac{5}{4}A(\termh{5S}{1})-\frac{3}{4}A(\termh{5P}{1})$\\[3pt] \> \> \>$\quad=\frac{3}{8}\nu_b+\frac{2}{8}\nu_a+\frac{3}{8}\nu_A$\\[6pt] Isotopenshift\>\erg{449}{MHz} \>\erg{\pm6}{MHz} \end{tabbing} Bei der Ermittlung dieser Werte wurden -- wo mehrere Berechnungsm"oglichlkeiten bestanden -- stets die Linien mit dem kleinsten Fehler verwendet. \subsubsection{Dopplerprofil} Nach Gl.~\ref{gl.dpp} und Gl.~\ref{gl.dpb} betr"agt die erwartete Breite des Dopplerprofils $\fwhm\approx\we{500}{MHz}$ bzw. $2\sigma\approx\we{430}{MHz}$. Die isolierte Linie mit dem geringsten Fehler in der Halbwertsbreite, ist die Linie zum mit $b$ benannten "Ubergang. Hier ergibt der Peakfit einen Wert von $2\sigma=\erg{481\pm46}{MHz}$. Die "Ubereinstimmung mit dem theoretischen Wert ist also recht gut, insbesondere wenn man bedenkt, dass der theoretische Wert auch nur eine N"aherung f"ur die Breite des Voigtprofils darstellt, und wenn man in Betracht zieht, dass der gefittete Wert f"ur den benachbarten $B-$Peak etwa um den gleichen Betrag \textsl{unter} dem theoretischen Wert liegt. \subsection{Nichtlineare Spektroskopie}\label{sec.nls}%Michael Im folgenden haben wir verschiedene Oszilloskopbilder untersucht. Da die Einheiten der Spannung und der x-Position unwichtig sind, haben wir Sie ausgelassen. Die x-Werte von Peaks etc. in den Oszilloskop-Kurven haben wir mittels der Etalon-Eichung in Vielfache des freien Spektralbereichs des Etalons umgerechnet, den wir kennen. Dazu haben wir die Peaks der Etalon-Kurven bestimmt, die erhaltenen Abst"ande zum ersten Peak gegen die Ordnung geplottet, und die erhaltene Kurve einem Fit mit einem Polynom dritten Grades unterworfen. F"ur die Etalon-Kurve des gesamten S"attigungsspektrums haben wir auf Grund der gr"o"seren Menge an Datenpunkten ein Polynom vom Grad 7 anfitten k"onnen. Mit dieser Funktion k"onnen wir nun x-Werte bezogen auf den 0-Punkt der Etalon-Kurve in Frequenzen umrechnen. Als erstes haben wir eine S"attigunsspektroskopie aufgenommen. Dabei haben wir einen Diodenstrom von \we{44\pm 1}{mA} und eine Temperatur von \we{19,1\pm 0,1}{$^{o}$C} verwendet. Die Oszilloskop-Kurve und die Etalon-Kurve sind in den Abbildungen~\ref{abbsatt1} und~\ref{abbsatt2} dargestellt. In dem Spektrum haben wir 8 Peaks ermittelt. Vorher haben wir die Eichfunktion zu \begin{equation*} \begin{split} \frac{\nu}{\nu_{fsr}}=\quad&0,04395+336,85686\cdot(x-x_0)+124,75543\cdot(x-x_0)^2+\\ &+15805,28491\cdot(x-x_0)^3-459310,48247\cdot(x-x_0)^4+\\ &+5636570\cdot(x-x_0)^5-30016800\cdot(x-x_0)^6+\\ &+56953500\cdot(x-x_0)^7 \end{split} \end{equation*} mit $x_0=0,0026173285$ bestimmt. Allerdings lassen sich aus der Etalon-Eichung keine absoluten Frequenzen bestimmen. Deshalb haben wir Frequenzen immer relativ zur Position des ersten Etalon-Peaks angegeben, dessen Position wir nat"urlich als Frequenz nicht genau kennen. In Tabelle~\ref{tabpeaks} sind die 8 Peaks aufgelistet, die dem Spektrum aus der linearen Spektroskopie "uberlagert sind. Au"serdem ist bereits die Zuordnung zu den einzelnen "Uberg"angen des Rubidiums angegeben. \begin{figure} \includegraphics[width=\textwidth]{satt} \caption{Rubidium-Spektrum}\label{abbsatt1} \end{figure} \begin{figure} \includegraphics[width=\textwidth]{etalon} \caption{Etalon-Kurve als Eichkurve}\label{abbsatt2} \end{figure} \begin{table} \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Peak&\we{\nu}{[MHz]}&\we{\Delta\nu}{[MHz]}&"Ubergang\\[4pt] \hline $A$&1386,51&31,89&\rbs\termh{5P}{1}(F=1)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=2)\\[4pt] \hline $a$&2201,79&32,5&\rbs\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=2)\\[4pt] \hline $D$&2902,91&32,98&\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)\\[4pt] \hline $4$&3078,76&33,14&Crossover-Resonanz\\\hline $d$&3260,29&33,33&\rbl\termh{5P}{1}(F=3)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)\\[4pt] \hline $c$&5938,85&37,96&\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=2)\\[4pt] \hline $7$&6135,93&38,2&Crossover-Resonanz\\\hline $C$&6312,02&38,35&\rbl\termh{5P}{1}(F=3)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=2)\\[4pt] \hline \end{tabular} \caption{Position der ermittelten Peaks}\label{tabpeaks} \end{table} Peak $4$ und $7$ k"onnen als Crossover-Resonanzen zu den Peaks $D$ und $d$ bzw. $c$ und $C$ identifiziert werden. Aus den Frequenzen dieser Peaks k"onnen wir nun die Hyperfeinstrukturaufspaltungen f"ur \rbl\termh{5S}{1}, \rbl\termh{5P}{1} und \rbs\termh{5P}{1} bestimmen. Die Grundzustandsaufspaltung von \rbs k"onnen wir nicht bestimmen, weil die entsprechenden Linien au"serhalb unseres Me"sbereichs lagen. Da wir wissen, da"s der Kernspin von \rbs $\frac{3}{2}$ betr"agt, sowie der von \rbl $\frac{5}{2}$, k"onnen wir aus dieser Aufspaltung die Hyperfeinstrukturkonstanten errechnen. Die Ergebnisse sind in der Tabelle~\ref{reshfs} angegeben. \begin{table} \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Niveau&Aufspaltung [MHz]&Fehler [MHz]&\we{A_{hfs}}{[MHz]}&Fehler [MHz]\\ \hline \rbs\termh{5P}{1}&815,28&45,53&407,64&22,77\\ \hline \rbl\termh{5P}{1}&357,38&46,89&119,127&15,63\\ \hline \rbl\termh{5P}{1}&373,17&53,96&124,39&17,99\\ \hline \rbl\termh{5S}{1}&305,17&50,81&1017,24&16,94\\ \hline \rbl\termh{5S}{1}&303,59&50,29&1011,98&16,76\\ \hline \end{tabular} \caption{Ergebnisse zur Hyperfeinstrukturaufspaltung}\label{reshfs} \end{table} Die Aufl"osung, die mit diesem Versuchsaufbau durchf"uhrbar ist, l"a"st sich durch die Hyperfeinaufspaltung der \rbl\termh{5P}{1}-Linie absch"atzen. Damit erh"alt man $9,67\ee{7}\pm3,57\ee{7}$. Allerdings stellt dies nur eine obere Grenze f\"{u}r die Aufl"osung dar. Verwendet man die Dip-Breite als $\Delta\nu$ ergibt sich eine Aufl"osung von $1,34\ee{7}$. \subsubsection{S"attigung einer Anregung im Rubidium-Spektrum} Nun haben wir uns eine Linie im Spektrum ausgesucht ($D$), und f"ur diese die Abh"angigkeit von der einfallenden Intensit"at untersucht. Dazu haben wir verschiedene Abschw"acher in den Pump-Strahl gestellt. Wiederum haben wir die Kurven in Frequenzen umgeeicht, wobei wir jeweils eine Etalon-Kurve ausgewertet haben, wie bereits beim letzten Spektrum. Um die Linie m"oglichst gut aufzul"osen, haben wir das Spektrum nicht vollst"andig aufgenommen, sondern jeweils nur den Doppler-Buckel des Peaks, den wir untersucht haben. Diesen mu"sten wir vor der Analyse des Lamb-Dips abziehen. Dazu haben wir au"serhalb der Dips eine Gau"s-Kurve angefittet, und diese subtrahiert. Die resultierenden Spektren sind in den Abbildungen~\ref{1} bis \ref{11} zu sehen. Die Koeffizienten des Eichpolynoms ($a+b*x+c*x^2+d*x^3$) sind in Tabelle~\ref{eich}, die Breite und H"ohe des Dipfits sind in Tabelle~\ref{sattes} aufgef"uhrt. Leistungen sind immer bezogen auf die nichtabgeschw"achte angegeben. Mit den Daten aus der Leistungsmessung k"onnen wir die nichtabgeschw"achte Leistung absch"atzen. Allerdings haben wir die beiden Messungen an verschiedenen Tagen durchgef"uhrt, und verschiedene Diodenstr"ome und damit Lasermoden verwendet. \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{1}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 1}\label{1} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{2}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,628}\label{2} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{3}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,543}\label{3} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{4}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,264}\label{4} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{5}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,341004}\label{5} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{6}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,165792}\label{6} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{7}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,143352}\label{7} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{8}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,09002506}\label{8} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{9}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,056}\label{9} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{10}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,035168}\label{10} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{11}} \caption{\rbl\termh{5P}{1}(F=2)$\leftarrow$\termh{5S}{1}(F=3)-"Ubergang mit einem Abschw"achungsfaktor von 0,030408}\label{11} \end{figure} \begin{table} \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Intensit"at&a&b&c&d\\ \hline 1&$-7,3\ee{4}$&572,90897&1664,35252&-71930,1578\\\hline 0,628&0,00217&578,86378&408,55318&23632,4708\\\hline 0,543&0,00197&569,98332&1576,28311&-12532,287\\\hline 0,264&0,00128&570,9748&2460,60084&-79728,1604\\\hline 0,341004&0,00166&568,65124&3518,20474&-190572,844\\\hline 0,165792&-0,00017785&575,91642&1381,08896&-40840,4523\\\hline 0,143352&0,00555&561,34115&7393,7462&-551969,475\\\hline 0,09002506&-0,000252&578,38033&-378,05255&149964,598\\\hline 0,056&0,000309&586,40992&-1605,15759&175521,455\\\hline 0,035168&0,00036095&575,68353&1053,90972&-7244,5045\\\hline 0,030408&-0,00157&573,63886&1169,51247&17571,3583\\\hline \end{tabular} \caption{Koeffizienten der Eichpolynome}\label{eich} \end{table} \begin{table} \centering \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Tiefe&Breite [kHz]&Fehler [Hz]\\ \hline 0,16251&0,0441&0,00113\\\hline 0,14891&0,0465&0,00177\\\hline 0,13431&0,043&0,00264\\\hline 0,098614&0,0324&0,00291\\\hline 0,11479&0,0361&0,0015\\\hline 0,0803&0,0274&0,00125\\\hline 0,07158&0,0279&0,00186\\\hline 0,056151&0,0246&0,00186\\\hline 0,039022&0,0351&0,00299\\\hline 0,035455&0,0354&0,00439\\\hline 0,025161&0,0451&0,00992\\\hline \end{tabular} \caption{Ergebnisse der Peakfits f"ur verschiedene Intensit"aten}\label{sattes} \end{table} Man wei"s aus der Theorie, wie sich Tiefe und Breite mit dem S"attigungsparamter $S$ ver"andern ($A\propto \frac{S}{1+S}$ und $\Delta\nu\propto\sqrt{1+S}$). $S$ gibt dabei das Verh"altnis der Absorptionsrate zur Relaxationsrate an. Um nun die S"attigungsleistung zu ermitteln, haben wir $A$ gegen $P$ und $\Delta\nu^2$ gegen $P$ geplottet. An diese Plots haben wir nun die erwarteten Lorentz-funktionen gefittet. Das Ergebnis ist in den Abbildungen~\ref{A} und \ref{dn} zu sehen. Bei dem Geraden-Fit haben wir die ersten drei sowie den letzten Wert ausgelassen, da sie offensichtlich aus der linearen Tendenz ausscheren. Zumindest f"ur die ersten drei Werte ist dies nicht verwunderlich, da die Dips nur noch sehr klein sind. Bei dem Peak ohne Abschw"achung scheint ein systematischer Fehler vorzuliegen, den wir uns allerdings nicht erkl"aren k"onnen. Trotzdem haben wir diesen Wert dann auch bei dem Fit der anderen Funktion weggelassen, was dazu gef"uhrt hat, da"s sich die beiden Ergebnisse deutlich angen"ahert haben. Nun kann man bei der Geraden aus Achsenabschnitt und Steigung die Leistung $P_{sat}$ ermitteln, bei der das Doppelte des Achsenabschnitts erreicht ist, was genau $S=1$ entspricht. "Ahnlich bestimmt man f"ur die Amplitude die Leistung $P_{sat}$, bei der die Tiefe auf die H"alfte des asymptotischen Wertes gestiegen ist. Dies entspricht ebenso $S=1$. F"ur erstere Methode erhalten wir $P_{sat}=0,26\pm0,03$, mit der letzteren $P_{sat}=0,52\pm0,02$. Dies ergibt im Mittel $P_{sat}=0,39\pm0,18$. Die Abweichungen sind signifikant. Allerdings haben wir auch gesehen, da"s bereits das Auslassen der 4 oben erw"ahnten Punkte das Ergebnis deutlich ver"andert hat. Insofern scheint das Ergebnis sehr empfindlich von den Me"swerten abzuh"angen. Mit dem Diodenstrom von \we{44}{mA} k"onnen wir die nicht abgeschw"achte Leistung zu \we{85,37}{$\mu$W} absch"atzen. Damit ergibt sich f"ur die S"attigungsleistung \we{33,45\pm15,65}{$\mu$W}. Sch"atzt man den Radius des Laserstrahls mit ca. \we{2}{mm} ab, so erh"alt man eine S"attigungsintensit"at von \we{2,66\pm1,25}{MJ/$m^2$s}. \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{dn}} \caption{Abh"angigkeit des Quadrats der Peak-Breite ($2\sigma$) von der einfallenden Leistung}\label{dn} \end{figure} \begin{figure} \rotatebox{270}{\includegraphics[height=\textwidth]{A}} \caption{Abh"angigkeit der Peak-Amplitude von der einfallenden Leistung}\label{A} \end{figure} \section{Diskussion der Ergebnisse} \subsection{Aufl"osung von linearer und nichtlinearer Spektroskopie} Mit den Methoden der linearen Spektroskopie gelingt es nicht die Hyperfeinstruktur des angeregten Zustandes von \rbl aufzul"osen. Mit der Methode der S"attigungsspektroskopie gelingt dies ohne weiteres. Vergleicht man die numerischen Werte die wir f\"{u}r die Aufl\"{o}sung erhalten haben, n"amlich etwa $2\ee{-6}$ f\"{u}r die lineare Spektroskopie und $10^{-6}$ (aufgel"oste Linien) bzw. $1.4\ee{-7}$ (gesch"atzt anhand der Linienbreite) so ergibt sich eine Verbesserung um den Faktor zwei bzw. 10. \subsection{Hyperfeinstrukturaufspaltung} Im folgenden sind die Ergebnisse f\"{u}r die Aufspaltung der \di-Linie aus der linearen Spektroskopie (Abs.~\ref{sec.lse}) und der nichtlinearen Spektroskopie (Abs.~\ref{sec.nls}) den Literaturwerten aus \cite{Denius::1996} gegen\"{u}bergestellt \begin{tabbing} \textbf{Term}\qquad\qquad\=\textbf{lin. Spektroskopie}\qquad\=\textbf{S"att.Spektroskopie}\qquad\=\textbf{Literatur}\\ \rbs \termh{5S}{1} \>\we{(6896\pm13)}{MHz} \>--- \>\we{6834.6}{MHz}\\ \rbs \termh{5P}{1} \>\we{(776\pm15)}{MHz} \>\we{(815\pm46)}{MHz}\>{818.2}{MHz}\\ \rbl \termh{5S}{1} \>\we{(3210\pm8)}{MHz} \>\we{(3044\pm36)}{MHz}\>\we{3035.7}{MHz}\\ \rbl \termh{5P}{1} \>--- \>\we{(365\pm35)}{MHz}\>\we{362.1}{MHz} \end{tabbing} Wie man sieht, waren die Fehler bei der linearen Spektroskopie offensichtlich zu gering angesetzt. M\"{o}glicherweise hat die Frequenzeichung doch einen gr\"{o}{\ss}eren Fehler als angenommen, in erster Linie ist aber wahrscheinlich der peakfitbedingte Fehler gr"o"ser als angesetzt. Bei der linearen Spektroskopie tritt eine Abweichung von etwa 5\% zu den Literaturwerten auf. Wie zu erwarten l"asst sich mit der S"attigungsspektroskopie eine wesentlich h"ohere Genauigkeit erreichen, die berichteten Werte werden hier nahezu exakt reproduziert. \subsection{Isotopenverschiebung} Leider haben wir hier keine Literaturwerte gefunden, mit denen wir unseren Wert von \we{(449\pm6)}{MHz} h\"{a}tten vergleichen k\"{o}nnen. \bibliographystyle{plain} \bibliography{a} \end{document}