\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article}
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\author{Michael Nirschl, Moritz Ringler}
\title{Protokoll zum FP-Versuch E108\\
H"ohenstrahlung}
\date{2./3. November 1999}
\numberwithin{equation}{section}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
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\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Thema}
In diesem Versuch wird die Hauptkomponente der kosmischen Strahlung am Erboden, die Myonenstrahlung, untersucht.\\ Im
ersten Versuchsteil wird die Abh"angigkeit der Strahlungsintensit"at vom Zenitwinkel $\theta$ gemessen, um die
erwartete $\cos^2(\theta)$-Proportionalit"at zu "uberpr"ufen.\\ Im zweiten Versuchsteil wird in einer Koinzidenzmessung
die Zerfallskonstante des Myonenzerfalls
\begin{equation}\mu\rightarrow e^-+\overline{\nu_e}+\nu_\mu\label{my-Zerfall}\end{equation}
bestimmt.
\section{Theorie}
\subsection{Kosmische Strahlung}
\subsubsection{Prim"arstrahlung}
Die Atmosph"are wird mit einer Rate von 1000 m\hoch{-2}s\hoch{-1} von nahezu isotroper Prim"arstrahlung aus dem
Weltraum getroffen. Diese ist zu einem gro"sen Teil galaktischen Ursprungs. Ein kleiner Teil kommt auch von der Sonne
und ist daher stark mit Ereignissen auf der Sonnenoberfl"ache korreliert. Der h"ochstenergetische Anteil ist
m"oglicherweise au"sergalaktischen Ursprungs.

Die kosmische Strahlung besteht "uberwiegend aus geladenen Teilchen, genauer aus ca. 90\% Protonen, 9\%
$\alpha$-Teilchen und zu ca. 1\% aus schwereren Kernen \cite{Gaisser::1990}, bzw. aus 87\% $p$ und 13\% (gebundenen)
Neutronen \cite{Wolfendale::1973}. Zudem enth"alt sie in geringerem Ma"se auch Elektronen, Positronen und
Gammastrahlung.

Das Energiespektrum der Prim"arstrahlung zeigt den Verlauf in Abb.~\ref{ESpektrum}. Es wird in etwa beschrieben durch
den Zusammenhang
\begin{equation}\frac{dN}{dE}\propto E^{-\gamma+1}\end{equation}
mit dem differentiellen Flu"s $\frac{dN}{dE}$ und $\gamma\approx1,7$ f"ur $E\lesssim10^{15}\text{eV}$; $\gamma\approx2$
dar"uber. Die h"ochsten gemessenen Energien liegen im Bereich von 10\hoch{20} eV.
\fig{espek}{ESpektrum}{Energiespektrum der Prim"arstrahlung nach \cite{Gaisser::1990}}

\subsubsection{Wechselwirkungen und Sekund"arstrahlung}
Die Prim"arstrahlung dringt gro"steils nicht zum Erdboden vor. Die Wechselwirkungsl"ange eines Protons der kosmischen
Strahlung liegt bei 80~g/cm$^2$, die Wahrscheinlichkeit, den Erdboden ohne Wechselwirkung zu erreichen, betr"agt
ungef"ahr 10\hoch{-5}. Stattdessen l"osen die Prim"arteilchen sogenannte Hadronenschauer aus. Dabei werden durch
inelastische hadronische Prozesse haupts"achlich geladene und neutrale Pionen und mit geringerer H"aufigkeit Kaonen,
Nukleonen und andere Hadronen erzeugt. Die Teilchenmultiplizit"at pro Wechselwirkung ist in etwa dem Logarithmus der
Energie proportional, der mittlere Transversalimpuls der Sekund"arteilchen betr"agt ungef"ahr 0,35~GeV/$c$, die
mittlere Inelastizit"at ca. 50\%. Aus den Sekund"arteilchen entstehen Myonen "uber folgende Zerf"alle:
\begin{align}
\pi^{\pm}&\rightarrow\mu^{\pm}+\nu_\mu(\overline{\nu_\mu})\\
K^{\pm}_{\mu_{2}}&\rightarrow\mu^{\pm}+\nu_\mu(\overline{\nu_\mu})\\
K^{0}_{\mu_{3}}&\rightarrow\mu^{\pm}+\nu_\mu(\overline{\nu_\mu})+\pi^{\mp}\\
K^{\pm}_{\mu_{3}}&\rightarrow\mu^{\pm}+\nu_\mu(\overline{\nu_\mu})+\pi^{0}
\end{align}
Au"serdem werden elektromagnetische Schauer (Paarbildung $\rightarrow$ Bremsstrahlung $\rightarrow$ Paarbildung\dots) ausgel"ost durch den Zerfall des $\pi^0$, das etwa einen Anteil von einem
Drittel an den produzierten Hadronen hat:
\begin{equation}\pi^{0}\rightarrow\gamma+\gamma\end{equation}

Die Myonen durchdringen die Atmosph"are gro"steils ohne Wechselwirkung oder Zerfall ($\tau\approx2,2\cdot10^{-6}$s), so da"s sie ca. 80\% der kosmischen Strahlung
am Erdboden ausmachen. Typischerweise liegt der Energieverlust eines 100~GeV"~Myons auf dem Weg durch die Atmosph"are bei circa 2~GeV, er wird
haupts"achlich durch Ionisation verursacht.\\
Die unterschiedliche Atmosph"arendicke unter verschiedenen Zenitwinkeln, f"uhrt zu einer Abh"angigkeit der
Myonintensit"at vom Zenitwinkel. Die integrierte Intensit"at der harten Komponente der Myonstrahlung
am Erboden wird in etwa beschrieben durch
\begin{equation}I(\theta)=I_0\cos^n{\theta}\qquad n \approx 2\quad \text{f"ur}\quad 0\grad\leq\theta\leq75\grad\end{equation}
Am niederenergetischen Ende des Myonspektrums sinkt
die Myonintensit"at mit steigendem Zenitwinkel betr"achtlich, da die Wahrscheinlichkeit, da"s das Myon absorbiert wird oder selbst
zerf"allt, mit der zu druchquerenden Absorberdicke steigt.\\
Die Intensit"at hochenergetischer Myonen steigt bei $\theta > 75\grad$ mit dem Zenitwinkel, da die Pionen,
welche von Prim"arteilchen produziert werden, die unter gro"sen Winkeln einfallen, eine gr"o"sere Wahrscheinlichkeit
haben durch Zerfall und nicht durch Kollision vernichtet zu werden, so da"s in diesem Bereich die erw"ahnte
$\cos^2(\theta)$~Relation nicht mehr zutrifft.

\subsection{Detektoren}
In diesem Versuch werden organische Szintillatoren und eine aus NIM-Modulen aufgebaute Koinzidenzelektronik verwendet.
Einfallende Strahlung deponiert Energie im Szintillator, die evtl. "uber Zwischenschritte in Anregungsenergie der
freien Valenzelektronen in $\pi$-Molek"ulorbitalen umgesetzt wird. Die Singlet- und Triplet-Zust"ande dieser
Molek"ulorbitale verf"ugen "uber eine Feinstruktur, die unterschiedlichen Schwingungsmoden des Molek"uls entspricht
($\Delta$E $\sim$ 0.1 eV). Mit hoher Wahrscheinlichkeit zerfallen die angeregten Zust"ande unter Aussendung von Licht
zu einem der Schwingungszust"ande "uber dem Grundzustand. Die freigesetzte Energie reicht daher nicht aus, um
Elektronen aus dem Grundzustand in angeregte Zust"ande zu heben, wodurch der Szintillator f"ur sein eigenes Licht
transparent wird. Dieses Licht wird dann "uber Wellenl"angenshiftermolek"ule in Frequenzen umgesetzt, f"ur die
Photokathoden mit hoher Ausbeute zur Verf"ugung stehen. "Uber einen Lichtleiter gelangt das Lichtsignal des
Szintillators in die Photokathode des Photomultipliers, wo es einen Photoelektronenpuls ausl"ost, der im
Sekund"arelektronenvervielfacher verst"arkt wird. Organische Szintillatoren haben sehr kurze Ausgangspulse mit $\tau$
in der Gr"o"senordnung von 2--3 Nanosekunden.\\ Der Spannungspuls der Detektoreinheit wird mit Diskriminatoren in einen
NIM-Logik-Puls umgesetzt und dann weiterverarbeitet.

\section{Winkelverteilung der Myonen (1.~Versuchsteil)}
\subsection{Beschreibung}
\subsubsection{Winkel-Intensit"ats-Messung}
F"ur die Messung der Winkelverteilung der kosmischen Strahlung am Erdboden wird eine Zylinder-symmetrische Anordnung
aus 24 ebenen und einem zylindrischen Szintillator verwendet. Die ebenen Szintillatoren (H:32, B:32, T:10 in mm) werden
in einem vertikalen Kreis mit 15~cm Radius aufgebaut, der zylindrische Detektor ($\varnothing$:32 T:10) wird im
Kreismittelpunkt angebracht (Abb.~\ref{Detektor}). 
\fig{detektor}{Detektor}{Detektoranordnung zur Messung der Winkelverteilung}

Gemessen werden Ereignisse im zylindrischen Detektor Z25 und die Einfallswinkel der sie ausl"osenden Teilchen. Dazu
wird das diskriminierte Z25-Signal in 12 Signale aufgef"achert (Fanout) und in 12 Dreifachkoinzidenzen mit den
diskriminierten Signalen der 12 diametralen Z"ahlerpaare gef"uhrt (Schaltung in Abb.~\ref{theta}). Experimentell werden
die Dreifachkoinzidenzen dadurch realisiert, da"s das invertierte Z25-Signal als \frspr{common inhibit} f"ur die
Zweierkoinzidenzen der diametralen Z"ahlerpaare verwendet wird. Jede dieser Dreifachkoinzidenzen detektiert Z25-Myonen
innerhalb eines Einfallwinkelbereichs von 15\grad. Die Ausgangssignale der Koinzidenzen werden auf Sichtz"ahler
gef"uhrt und eine Woche lang registriert, so da"s schlie"slich Daten f"ur die Intensit"at der Myonstrahlung in
Abh"angigkeit vom Zenitwinkel vorliegen.
%\fig{theta}{theta}{Elektronik zur Messung der Winkelverteilung}
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics{theta}
\end{center}
\caption{Elektronik zur Messung der Winkelverteilung}\label{theta} 
\end{figure} 

Um aus diesen Daten die Zufallskoinzidenzen herausrechen zu k"onnen, m"ussen diese getrennt mitgez"ahlt werden. Dazu
verwenden wir zwei verschiedene Methoden. Bei der Verz"ogerungsmethode werden die Signale einer Dreierkoinzidenz so
weit gegeneinander verz"ogert, da"s Signale vom gleichen Teilchen sicher nicht mehr gleichzeitig -- innerhalb der
Zeitaufl"osung -- an der Koinzidenz eintreffen (Z25 unverz"ogert, Z1:~30~ns, Z13:~60~ns). Unter Annahme einer zeitlich
isotropen Ereignisrate wird dann genau die Rate der Zufallskoinzidenzen gemessen. Bei der geometrischen Methode werden
drei Z"ahler in Koinzidenz gef"uhrt, deren gegenseitige Lage es praktisch unm"oglich macht, da"s ein Teilchen in allen
drei Detektoren ein Signal ausl"ost (Z25, Z8, Z14). Allerdings ist es durchaus m"oglich, da"s ein Teilchen zwei
Detektoren durchquert, so da"s hier eine gegen"uber der Zufallsrate zu hohe Rate gemessen wird.

\subsubsection{Koinzidenzelektronik und Pulsh"ohenspektrum}\label{coinc}
Am Z12-Detektor wird die Elektronik beispielhaft eingestellt und das Pulsh"ohenspektrum gemessen.

Das Z12-PM-Signal wird geteilt. Ein Zweig wird diskriminiert und verz"ogert in eine Koinzidenz gef"uhrt. Um gen"ugend
Ereignisse zu erhalten, werden f"ur diese Koinzidenz die durch ein logisches ODER verkn"upften und danach verz"ogerten
Diskriminatorsignale der Z"ahler Z21-Z24 und Z1-Z4 verwendet. D. h. es werden alle Myonen gez"ahlt, die aus einem
Winkelbereich von $\pm30\grad$ um den Zenit im Z"ahler Z12 einfallen. Das Signal dieser Koinzidenz wird auf einem
Sichtz"ahler registriert und als Gate f"ur den zweiten Zweig des Z12-Detektorsignals verwendet. Dieses Analogsignal
wird in einem \frspr{Stretcher Amplifier} verbreitert und in einen Vielkanalanalysator (MCA) gef"uhrt. Hier wird die
Pulsh"ohe digitalisiert, die Anzahl der Ereignisse in jedem der 256-Spannungskan"ale wird gez"ahlt und auf Bildschirm
oder Drucker ausgegeben. Ein Blcokschaltbild der Elektronik findet sich in Abb.\ref{z12}.
\fig{z12}{z12}{Elektronik zur Messung des Pulsh"ohenspektrums}

Die beschriebene Schaltung soll optimiert werden, indem erstens "uber die Diskriminatorschwelle des Z12-Diskriminators st"orendes
Untergrundrauschen im niedrigen Energiebereich eliminiert wird und indem zweitens die zeitliche "Uberlappung der beiden
Diskrimatorsignale mithilfe von Verz"ogerungskabeln maximiert wird.

Zur Einstellung der Diskriminatorschwelle wird die Anzahl der innerhalb von je 5 Minuten von der Koinzidenz registrierten Ereignisse
in Abh"angigkeit von der Einstellung des Diskriminators gemessen. Die Diskriminatorschwelle wird dann an einer Stelle
positioniert, bei der der Untergrund sicher ausgeschlossen wird (s.~Abs.~\ref{Ergebnisse}).

Sodann wird mithilfe von Delaykabeln die Z"ahlrate in Abh"angigkeit von der gegenseitigen Verz"ogerung der
Eingangszweige
der Koinzidenz gemessen. Die Verz"ogerung von Z12 wird dabei positiv gerechenet, die von Z21-4 negativ.\\
Nachdem die Verz"ogerung so eingestellt ist, da"s maximale Z"ahlraten zu erwarten sind (s.~Abs.~\ref{Ergebnisse}), kann die Messung des
Pulsh"ohenspektrums mit dem MCA gestartet werden.


\subsection{Ergebnisse und Fehler}\label{Ergebnisse}
\subsubsection{Schwellenkurve}\label{SK}
F"ur die Schwellenkurve wird der in Abb.~\ref{Schwellenkurve} dargestellte Verlauf gemessen, wobei die grossen Fehler
haupts"achlich von den nat"urlichen statistischen Schwankungen in der recht niedrigen Z"ahlrate herr"uhren (der
relative Fehler geht mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$, wenn $n$ die Anzahl der Messungen bezeichnet).
\fig{disc1}{Schwellenkurve}{Schwellenkurve, Diskrimnator an Z12}

Die Schwellenkurve $D(a)$ ist die Integralfunktion des Pulsh"ohenspektrums $S(E)$ nach
\begin{equation}D(a)=\int^{\infty}_{a}S(E) dE\end{equation}
Bei einem Pulsh"ohenspektrum mit einem hohen Untergrundpeak und einem ann"ahernd monoenergetischen Myonenpeak wird eine
Diskriminatorkurve mit zwei durch ein Plateau geteilten steilen Abf"allen erwartet. Da jedoch das beobachtete
anf"angliche Pulsh"ohenspektrum bei weitem nicht dieser idealen From entsprach, insofern als der Myonenpeak vom
Untergrund kaum zu trennen war (Abb.~\ref{pulsgrob}), "uberrascht es nicht sonderlich, da"s im wesentlichen nur ein
einstufiger Abfall beobachtet wird. Das eingezeichnete Mittelplateau liegt gro"steils innerhalb der Me"sungenauigkeit,
ist also durch die Messung nicht unbedingt gesichert. Dennoch wird die Diskriminatorschwelle hier plaziert (Linie in
Abb.~\ref{Schwellenkurve}) und zwar aus folgenden Gr"unden. Erstens kann die Einstellung der Diskriminatorschwelle auf
diesen Wert als konservativ betrachtet werden, da ein gro"ser Teil des Untergrundes sicher ausgeschlossen wird, wenn
man -- wie hier geschehen -- die Gesamtz"ahlrate auf etwa die H"alfte des Anfangswertes reduziert. Zweitens verbleiben
ca. 50\% des Energiebereichs, in dem urspr"unglich Ereignisse registriert wurden, innerhalb des Me"sbereichs, so da"s
zumindest erwartet werden kann, da"s die Messung die rechte Flanke des Myonenpeaks vollst"andig wiedergeben wird.
\fig{pulsgr}{pulsgrob}{Pulsh"ohenspektrum ohne Diskriminator, Me"szeit 2 Std.}

\subsubsection{Verz"ogerungskurve}\label{VK}
Bei der Verz"ogerungskurve wird die Z"ahlrate "uber alle Energiebereiche in Abh"angigkeit von der gegenseitigen
Verz"ogerung der Koinzidenzzweige gemessen. Erwartet wird hier in etwa ein Rechteck, da"s ungef"ahr die addierte Breite
der Eingangssignale hat, da eine Koinzidenz genau dann registriert wird, wenn sich die beiden Eingangssignale
"uberlappen. Der vertikale Offset dieses Rechtecks gegen"uber der Grundlinie entspricht der Rate der
Zufallskoinzidenzen. Die experimentell bestimmte Kurve findet sich in Abbildung~\ref{Verz}, die Verz"ogerung des
Z12-Zweiges ist hier positiv, die des Oder-Zweiges negativ aufgetragen. Die Me"swerte zeigen einen gegen"uber dem
idealen etwas verwischten Verlauf, der auf Schwankungen im notwendigen zeitlichen Signal"uberlapp zur Ausl"osung eines
Koinzidenzsignals beruht (z. B. Amplitudenabh"angigkeit). Die Verz"ogerung wird bei -5ns (Linie in Abb.~\ref{Verz})
fixiert, einem Wert, der aufgrund der Me"sdaten als der Mitte des Plateaus nahe betrachtet wird.
\fig{verz}{Verz}{Verz"ogerungskurve Z12-Oder-Koinzidenz}

\subsubsection{Pulsh"ohenspektrum}
Mit den aus \ref{VK} und \ref{SK} abgeleiteten Einstellungen wird das Pulsh"ohenspektrum f"ur die Dauer von etwa 7
Tagen aufgenommen. Das Ergebnis (Abb.~\ref{puls}) zeigt eine Energieverteilung die ungef"ahr in der Mitte zwischen
einer Gau"sverteilung und einer Landau-Verteilung liegt, insofern als die Glockenkurve zwar die typische Asymmetrie und
den Exponential-Schwanz der Landau-Verteilung aufweist, jedoch nicht ihren steilen nahezu senkrechten Anstieg
reproduziert. Unter der freilich etwas willk"urlichen Annahme einer ann"ahernd monoenergetischen Strahlung l"a"st sich
daraus ableiten, da"s es sich beim Szintillationsz"ahler um einen mitteldicken Absorber handelt, in dem ein guter Teil
der Energie der einfallenden Teilchen, jedoch nicht ihre gesamte Energie umgesetzt wird. Eine absolute
Energiebestimmung ist aus den gemessenen Daten nicht m"oglich, da hierf"ur eine Energieeichung der Apparatur h"atte
durchgef"uhrt werden m"ussen. \fig{puls}{puls}{Pulsh"ohenspektrum der kosmischen Strahlung am Erdboden, Me"szeit 7
Tage}

\subsubsection{Winkelverteilung}\label{WinkelV}
Aus den beiden Schaltungen zur Messung der Zufallskoinzidenzen ergeben sich f"ur den Me"szeitraum von knapp 7 Tagen
Werte von 313 (geometrisch) bzw. 340 (Verz"ogerung) Ereignissen. Wie bereits oben erw"ahnt ist die mit der
geometrischen Methode bestimmte Rate der Zufallskoinzidenzen zu hoch, weil die Ereignisse in den Z"ahlern nicht als
vollkommen unabh"angig betrachtet werden k"onnen. Bei der Verz"ogerungsmethode tritt dieses Problem nicht auf.
Allerdings stellt sich hier ein weiteres Problem, das mit der Ausrichtung der Z"ahler zur Vertikalen zusammenh"angt. Da
der maximale Myonenstrom in etwa aus der Vertikalen kommt, wird in den nahezu waagerechten Z"ahlern eine gr"o"sere Zahl
an Ereignissen registriert als in den nahezu senkrecht orientierten. Unterschiedliche Z"ahlraten haben aber auch
unterschiedliche Zufallskoinzidenzraten zur Folge. Dieser Effekt soll in den folgenden "Uberlegungen ber"ucksichtigt
werden. Unter der Annahme einer $\cos^2(\theta)$-Verteilung der Intensit"at und einer 100\%-igen oder zumindest vom Weg
durch den Z"ahler unabh"angigen Nachweiswahrscheinlichkeit gilt f"ur die Ereignisrate in einem Z"ahler
\begin{center}\begin{equation}\begin{split}
I(\phi)&=\int^{\pi/2}_{-\pi/2}|\mathbf{j}(\theta)\cdot\mathbf{A}|d\theta\\
&=Aj_0\int^{\pi/2}_{-\pi/2}|\cos(\theta-\phi)|\cos^2(\theta)d\theta\\ &=:Aj_0Z(\phi)
\end{split}\end{equation}\end{center}
wobei $A$ die Z"ahlerfl"ache, $j_0$ die Stromdichte aus der Senkrechten, und $\phi$ den Winkel der Fl"achennormale des
Z"ahlers zur Senkrechten bezeichnet. Die Zufallskoinzidenzen in einer Dreierkoinzidenz Z\idx{a},Z\idx{b},Z\idx{c}
ergibt sich theoretisch wie folgt. Ein Ereignis treffe in Z"ahler a ein, dann "offnet sich ein Zeitfenster f"ur Signale
aus b und c, dessen Dauer der Zeitaufl"osung $\sigma_a$ der Koinzidenz entspricht. Innerhalb dieses Zeitfenster
eintreffende Signale werden als koinzident zum ersten betrachtet. In dieses Zeitfenster fallen im Mittel
$\sigma_{a}\cdot I_{b,c}$ Signale aus einem der anderen Z"ahler. Da diese Zahl wesentlich kleiner als Eins ist, kann
die Wahrscheinlichkeit, da"s zwei oder mehr Ereignisse aus einem Z"ahler in das Fenster fallen, als vernachl"assigbar
klein angenommen werden, und obiger Ausdruck kann als Wahrscheinlichkeit f"ur das koinzidente Eintreffen eines Signals
aus b oder c betrachtet werden. Da es sich nach Voraussetzung um zuf"allige Koinzidenzen handeln soll, multiplizieren
sich die Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur das koinzidente Eintreffen eines Ereignisses aus b oder c. Analoges ergibt
sich, wenn das erste Signal aus Z"ahler b oder Z"ahler c stammt. Damit gilt bei gleichen Raten im Z"ahlerpaar (i,j)
f"ur die Gesamtrate der Zufallskoinzidenzen
\begin{equation}I_{Z}(ij)=2\sigma_{coinc}^2I_{25}I_{i}+\sigma_{veto}^2I_i^2\end{equation}
Vereinfachend kann man nun entweder annehmen, da"s \begin{equation*}\sigma_{veto}=0\end{equation*} (i.e. die Schaltzeit
des Vetos ist klein gegen die Zeitaufl"osung der Koinzidenz) , oder da"s
\begin{equation}\sigma_{veto}=\sigma_{coinc}\quad \text{und}\quad I_{25}=I_i\end{equation}
Ersteres halte ich f"ur die plausiblere Variante. Damit ergibt sich als Endergebnis
\begin{equation}I_{Zufall}(ij)=2\sigma^2 I_{25}I_{i}(\phi)\end{equation}
und damit eine Proportionalit"at der Zufallsrate zu $Z(\phi)$. Das Z"ahlerpaar (1,13), mit dem die Zufallsrate gemessen
wurde, ist um einen Winkel von 15\grad zur Vertikalen geneigt. Daher folgt f"ur die Zufallsrate eines Z"ahlerpaares
unter dem Winkel $\phi$ zur Vertikalen folgende Zufallsrate
\begin{equation}
I_Z(\phi)=\frac{I_Z^{(1,13)}}{Z(15\grad)}Z(\phi)\end{equation} $Z(\phi)$ wird numerisch berechnet, die damit
berechneten Zufallskoinzidenzraten finden sich in Tabelle~\ref{Winkel}.
\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|cccccc|}
\hline Koinzidenz  &1-13   &2-14       &3-15   &4-16   &5-17  &6-18\\ \hline Winkelbereich&15\grad&30\grad
&45\grad&60\grad&75\grad    &90\grad\\ \hline Ereignisse  &5424   &4192       &(81) &590 &583        &224\\ Zufall &340
&308        &264    &220    &188        &176\\ bereinigt   &5084 &3928&--- &370    &395        &48\\ Fehler &42
&\textbf{40}&42     &42 &\textbf{44}&42\\ \hline
 \hline Koinzidenz&7-19&8-20&9-21&10-22&11-23&12-24\\ \hline
Winkelbereich&-75\grad&-60\grad&-45\grad&-30\grad&-15\grad&0\grad\\ \hline Ereignisse&539&1498&2879&(728)&5384&5454\\
Zufall&188&220&264&308&340&352\\ bereinigt&351&1278&2615&(420)&5044&5102\\ Fehler&\textbf{44}&42&42&42&\textbf{40}&42\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Winkelverteilung der Myonenstrahlung, Me"szeit 7 Tage}\label{Winkel}
\end{center}
\end{table}

Die Z"ahlraten der Koinzidenzen 3-15 und 10-22 sind offensichtlich falsch. Vor Versuchsbeginn war bereits bekannt, da"s
diese Z"ahler zu niedrige Raten messen. Daher wird f"ur die entsprechenden Winkel $\phi$ der Wert benutzt, den die
Koinzidenz f"ur $-\phi$ ergeben hat. Bei der Koinzidenz 4-16 wird genauso verfahren, obwohl hier die Fehlfunktion nicht
ganz so deutlich ist. Eventuell verwirft man also einen guten Me"swert. Der dadurch begangene Fehler ist aber in jedem
Fall gering.

Als Ma"s f"ur den Fehler der Me"swerte wird dort, wo zwei gesicherte Me"swerte f"ur $\phi$ und $-\phi$ zur Verf"ugung
stehen, deren Differenz betrachtet. Dies bedeutet, da"s man die nat"urliche Asymmetrie infolge des Erdmagnetfeldes und
der Ladungsasymmetrie der Myonenstrahlung vernachl"assigt. Dadurch wird der Fehler aber h"ochstens geringf"ugig zu
gro"s gesch"atzt. G"unstigerweise stehen diese Werte sowohl f"ur die gr"o"sten Winkel als auch f"ur die kleinsten zur
Verf"ugung. Da sie in der gleichen Gr"o"senordnung liegen, kann der Fehler der dazwischenliegenden Werte
vern"unftigerweise im gleichen Bereich angesetzt werden. Im einzelnen finden sich die Fehler in Tabelle~\ref{Winkel}.
Bei den gro"sen Z"ahlraten und dem langen Me"szeitraum mitteln sich zuf"allige Fehler weitgehend heraus. Daher werden
f"ur diese Fehler, zu denen z. B. Schwankungen in der nat"urlichen Strahlung geh"oren, nur etwa 15~Ereignisse
angesetzt. Eigentlich geht dieser Fehler mit $\sqrt(n)$, aber um die Betrachtung zu vereinfachen, wird hier ein
mittlerer Wert veranschlagt. Gr"o"seren Einflu"s haben die systematischen Fehler: Zun"achst ist die durchgef"uhrte
Korrektur fehlerbehaftet. Aus dem Fehler der Messung der Zufallskoinzidenzen und dem durch die verschiedenen
N"aherungen und Annahmen gemachten Fehler resultiert hier ein Gesamtfehler von etwa 10 Ereignissen. Aufgrund der
unterschiedlichen Einstellungen der Verst"arker, der Diskriminatoren und der Koinzidenzen hat die auswertende
Elektronik der einzelnen Z"ahler eine unterschiedliche "Ubertragungsfunktion, dieser Fehler d"urfte ebenfalls etwa 10
Ereignisse ausmachen. Die unterschiedliche Ansprechwahrscheinlichkeit der naturgem"a"s nicht vollkommen identischen
Szintillatorkristalle und Photomultiplier verursacht den restlichen Fehler.

Auf einen Blick finden sich die Ergebnisse des ersten Versuchsteils in Abbildung~\ref{WinkelA}. In die bereinigten
Me"swerte wurde eine $\cos^2(\theta)$"~Verteilung gefittet. Die $\cos^2$"~Hypothese wird gut best"atigt, da $\chi^2$
nur ca. 7000 betr"agt . Bei 13 Me"spunkten entspricht das einem mittleren Abstand von der Fitkurve von nur ca. 23. Um
den Einflu"s der Ausgleichsrechnung zu illustrieren, sind zus"atzlich noch die unbereinigten Me"swerte abgebildet.
\fig{winkel}{WinkelA}{Abh"angigkeit der Myonenstrahlungsintensit"at vom Zenitwinkel}

\section{Myonenlebensdauer (2.~Versuchsteil)}
\subsection{Beschreibung}
Im zweiten Versuchsteil wird die Zerfallskonstante des Zerfalls \eqref{my-Zerfall}, also die Lebensdauer des Myons,
bestimmt. Dazu werden zwei Szintillatoren, die vertikal "ubereinander unter einer Bleiabschirmung aufgestellt sind,
benutzt. Die Abschirmung dient dazu, die weiche Komponente der H"ohenstrahlung zu absorbieren, so da"s die
registrierten Ereignisse tats"achlich "uberwiegend von Myonen stammen. Zur Lebenszeitmessung wird eine spezielle
Koinzidenzelektronik benutzt, die den beiden Z"ahlern nachgeschaltet ist. Als Start-Signal f"ur die Zeitmessung dient
eine Koinzidenzschaltung beider Z"ahler, das hei"st ein Startimpuls wird ausgel"ost, wenn ein Myon in beide Z"ahler
eintritt. Als Stop-Signal dient der Ausgang des unteren Z"ahlers (Z2), denn wenn eine Myon im zweiten Z"ahler zur Ruhe
kommt und zerf"allt, dann erzeugt dort das Zerfallselektron, das kinetische Energie aus dem Zerfall tr"agt, einen
weiteren Impuls.

Zun"achst wird die Koinzidenz f"ur das Startsignal eingestellt. Da die Z"ahlraten isgesamt klein sind, ben"otigt man
f"ur die Aufnahme von Schwellen- und Verz"ogerungskurve viel Zeit, wenn man Werte erhalten m"ochte, die gro"s gegen die
nat"urlichen Schwankungen in der Z"ahlrate sind. Hier wird das umgangen, indem die Z"ahlrate des einzustellenden
Koinzidenzkreises auf diejenige eines Monitorkreis genannten weiteren Koinzidenzkreises mit offenen Diskriminatoren und
fester Verz"ogerung bezogen wird. Am Oszillographen wird nun zun"achst die Koinzidenz des Monitorkreises "uberpr"uft.
Dazu werden die beiden Diskriminatorsignale auf die beiden Kan"ale des Oszilloskops gegeben und beobachtet. Mit Hilfe
von Verz"ogerungskabeln wird dann f"ur optimalen "Uberlapp der beiden beobachteten Rechtecksignale gesorgt.
Anschlie"send werden im Start-Koinzidenzkreis Schwellen- und Verz"ogerungskurve aufgenommen, wie in
Abschnitt~\ref{coinc} beschrieben, nur da"s jetzt nicht f"ur eine feste Zeit gemessen wird, sondern solange bis der
Monitorz"ahler einen festen Wert erreicht. Die Koinzidenz wird wie in Abs.~\ref{VuD} beschrieben eingestellt. Dann
werden Start- und Stop-Signal auf die Eing"ange der Z"ahleinheit gegeben. Das Startsignal wird dabei verz"ogert, damit
der erste Myonenpuls (Start) aus Z2 die Zeitmessung nicht f"alschlicherweise stoppen kann. Die Z"ahleinheit registriert
Ereignisse mit einem zeitlichen Abstand von bis zu 10~$\mu$s, indem ihre 10 Z"ahler jeweils Ereignisse aufnehmen, deren
Abstand in ein Intervall von 1~$\mu$s Breite f"allt. Wie das technisch umgesetzt ist, kann man im Skript nachlesen.
Hier wird es nicht beschrieben, da es f"ur die Versuchsauswertung kaum von Belang ist. Die Z"ahleinheit registriert
au"serdem noch getrennt die Start- und Stopsignale, woraus die Anzahl der zuf"alligen Koinzidenzen berechnet werden
kann. Die Messung wird gestartet und nach knapp 7 Tagen beendet und abgelesen.


\subsection{Ergebnisse und Fehler}
\subsubsection{Verz"ogerung und Diskriminatorschwellen}\label{VuD}
Die gemessenen Verz"ogerungs- und Schwellenkurven finden sich in Abb.~\ref{Verz2} und Abb.~\ref{Disk2}. Anhand dieser
Kurven wird die Verz"ogerung der beiden Zweige der Koinzidenz bei -22~ns fixiert, die Diskriminatorschwelle f"ur den
oberen Z"ahler (Z1) wird auf 2,75 eingestellt, die des unteren Z"ahlers (Z2) auf 1,5. Allerdings ist auch hier wieder
nur schwer ein "`Plateau"' zu erkennen. Die Diskriminatorschwelle wird daher nach den gleichen Kriterien wie in
Abs.~\ref{SK} festgelegt. \fig{verz2}{Verz2}{Verz"ogerungskurve f"ur die Start-Koinzidenz der Lebensdauermessung}
\fig{disc2}{Disk2}{Diskriminatorkurven f"ur die beiden Detektoren der Lebensdauermessung}

\subsubsection{Lebenszeitmessung} In diesem und in den folgenden Abschnitten werden Ergebnisse der Gruppe $\alpha$5
verwendet, da die eigene Messung vermutlich aufgrund eines defekten Kabels praktisch keine Koinzidenzen von Start- und
Stopsignal registriert hat.

Es wurden 405426 Startereignisse und 2910099 Stopsignale gez"ahlt. Aus analogen "Uberlegungen wie in Abschnitt
\ref{WinkelV} gilt f"ur die Rate der Zufallskoinzidenzen in einem der Z"ahler
\begin{equation}\dot{n}_Z= 1 \text{$\mu$s}\cdot\dot{n}_{Start}\dot{n}_{Stop}\end{equation}
Man beachte, da"s es hier auf die Reihenfolge von Start- und Stopsignal ankommt. Daher geht kein Faktor 2 ein. F"ur die
absolute Zahl der Zufallskoinzidenzen ergibt sich dann
\begin{equation}\begin{split}\frac{n_Z}{t}&= 1\text{$\mu$s}\quad\frac{n_{Start}n_{Stop}}{t^2}\\
n_Z&=1\text{$\mu$s}\quad\frac{n_{Start}n_{Stop}}{t}\end{split}\end{equation} Bei einer Me"szeit von 593100~s gilt dann
$n_Z=1,989\approx 2$. Dieser Wert ist ohnehin schon klein gegen fast alle Me"swerte, so da"s sein Fehler auf jeden Fall
keine Rolle spielt, au"ser m"oglicherweise f"ur den letzten Me"swert. Die Me"sergebnisse finden sich in
Tablelle~\ref{tau}.

\taba{|l|cccccccccc|}
\hline t/$\mu$s&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline n&474&293&177&113&83&46&26&25&18&7\\
n-n\idx{z}&472&291&175&111&81&44&24&23&16&5\\ \hline Fehler 1&15&12&5&3&2&1&0&0&0&0\\ Fehler
2&19&15&12&9&8&6&4,4&4,3&3,6&2\\ \hline
\tabe{tau}{Messung der Myon-Lebenszeit}

Diese Werte sind fehlerbehaftet. Zeitliche statistische Fehler in Detektor, Photomultiplier und Diskriminatoren spielen
praktisch keine Rolle, da sie s"amtlich im Nanosekundenbereich liegen. Die systematischen Fehler wie etwa
Verz"ogerungen in den beiden Zweigen wirken sich nur als konstanter Zeitoffset aus, der keine Auswirkung auf die
Bestimmung der Fitgeraden im ln-Plot hat. Deutlichen Einflu"s hat hingegen der Diskretisierungsfehler: dadurch da"s die
Zeitaufl"osung der Z"ahler nur 1$\mu$s betr"agt wird implizit angenommen, da"s das Integral der Kurve "uber die
Boxbreite in etwa dem Wert der Kurve am Boxmittelpunkt proportional ist. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die Kurve
keine konstante Steigung hat. Insbesondere f"ur kleinere Zeiten $\leq2$~$\mu$s ergibt sich hier ein gro"ser Fehler
zwischen 10 und 15 Ereignissen (Fehler 1). Sodann gehen Fehler durch statistische Schwankungen ein. Diese gehen bei der
zugrundeliegenden Poissonverteilung mit der Wurzel aus der Zahl der Messungen (Fehler 2). Realistisch ist hier einen
Wert von ca. 2 f"ur den 10~$\mu$s-Wert anzusetzen. In den Fehler der Fitgeraden flie"st zus"atzlich noch der Fehler
durch die N"aherung des tats"achlichen Kurvenverlaufs, einer Faltung von Gau"skurve und Exponentialabfall, durch den
Exponentialabfall allein ein. Dies verursacht einen zus"atzlichen Fehler f"ur die aus der Geradensteigung bestimmte
Lebensdauer. Da"s das Myon einen Teil seiner Lebenszeit bereits hinter sich hat, wenn es im Detektor ankommt, spielt
dagegen keine Rolle, da ohnehin nur die Steigung des Exponentialabfalls ausgewertet wird.\\
\fig{lebdauer}{leben}{Messung der Myonenlebensdauer}
F"ur die Zerfallskurve im  ln-Plot (Abb.~\ref{leben}) ergeben sich im Geradenfit folgende Parameter:

\begin{tabular}{lll}
Achsenabschnitt &6,61&$\pm$0,14\\ Steigung&-0,46422~$\mu$s\hoch{-1}&$\pm$0,0232~$\mu$s\hoch{-1}\\
\end{tabular}
\newline Aus diesen Werten folgt eine Myonlebensdauer von 2,154~$\mu$s und mit Gau"s'scher Fehlerfortpflanzung ein Fehler von
0,108~$\mu$s. In Wahrheit d"urfte der Fehler etwas h"oher liegen (s.o.).

\section{Diskussion der Ergebnisse}
Im ersten Teil des Versuches konnte die $\cos^2(\theta)$-Abh"angigkeit der Intensit"at der kosmischen Strahlung am
Erdboden gut best"atigt werden.\\
Im zweiten Versuchsteil wurde die Lebensdauer des Myons zu (2,15$\pm$0,11) $\mu$s
bestimmt. Dies ist konsistent mit dem in der Literatur angegebenen Wert von 2,2~$\mu$s \cite{Fernow::1986,
Wolfendale::1973, Breuer::1991} (Fehler nicht angegeben).

\bibliography{e}
\bibliographystyle{plain}

\end{document}