\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article} \usepackage{a4,ngerman,amsmath,amssymb,times, graphics, bibgerm} \author{Michael Nirschl, Moritz Ringler} \title{Protokoll zum FP-Versuch E111\\ Jamininterferometer} \date{6./7. Dezember 1999} \numberwithin{equation}{section} \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\hoch}[1]{\ensuremath{^{#1}}} \newcommand{\idx}[1]{\ensuremath{_{#1}}} \newcommand{\grad}{\hoch{\circ}} \newcommand{\frspr}{\textit} \newcommand{\unit}[1]{\text{ #1}} \newcommand{\bild}[3]{\begin{figure}[#3]\vspace{#2 cm}\caption{#1}\label{#1}\end{figure}} \newcommand{\Pl}{\mathbf{P}} \newcommand{\p}{\mathbf{p}} \newcommand{\E}{\mathbf{E}_{K}} \newcommand{\R}{\mathbf{r}} \newcommand{\wo}{{\omega_0}^2} \newcommand{\wk}{{\omega_k}^2} \newcommand{\ww}{\omega^2} \newcommand{\no}{{\nu_0}^2} \newcommand{\nn}{\nu^2} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \section{Thema} In diesem Versuch wird die Abh"angigkeit des Brechungsindexes von Argon von der Frequenz des eingestrahlten sichtbaren Lichts untersucht. Als Refraktometer wird ein Interferometer nach Jamin benutzt. \section{Theorie} \subsection{Dispersion in Gasen} Zun"achst wird die Dispersion, also die Frequenzabh"angigkeit des Brechungsindexes im Medium, klassisch berechnet und zwar unter folgenden Annahmen: \begin{enumerate} \item Mit Argon betrachten wir einen einatomigen und daher ohne a"u"seres Feld nicht polarisierten Stoff. In einem elektrischen Feld werden die Ladungen in Gestalt der Kerne und Elektronen gegeneinander verschoben. Dadurch wird in jedem Atom ein Dipolmoment \begin{equation}\mathbf{p}=-e\mathbf{r}\label{p}\end{equation} erzeugt. Wegen der im Vergleich zu derjenigen des Elektrons sehr hohen Masse des Kerns, kann die Bewegung des Kerns vernachl"assigt werden. \item F"ur die Polarisation $\Pl$ eines makroskopischen K"orpers $K$ aus diesem Stoff mit Volumen $V$ gilt \begin{equation}\Pl=\frac{1}{V}\sum\limits_K\p=N\p\label{P}\end{equation} wobei $N$ die Teilchendichte des K"orpers bezeichnet. \item Die magnetische Permeabilit"at des K"orpers ist \begin{equation}\mu\approx 1\label{mu}\end{equation} \item Das effektive elektrische Feld im K"orper wird beschrieben durch \begin{equation}\E=\mathbf{E}+\frac{4\pi}{3}\Pl\label{E}\end{equation} \item Die "au"sere Kraft auf die Teilchen ist die Lorentzkraft \begin{equation}\mathbf{F}=-e\left(\E+\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}_{K}\right)\label{lor}\end{equation} Da f"ur harmonische Wellen gilt \begin{equation}|\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|\end{equation} kann mit \eqref{mu} und unter Ber"ucksichtigung der Tatsache, dass die Geschwindigkeiten der beteiligten Teilchen alle klein gegen $c$ sind, der $\mathbf{B}$-Term in \eqref{lor} vernachl"assigt werden \begin{equation}\mathbf{F}=-e\E=-e\E(0)\exp(-i\omega t)\label{F1}\end{equation} \item Die Bindung der Elektronen wird wie folgt ber"ucksichtigt. Im Zustand ohne "au"seres Feld befindet sich das System in einem Potentialminimum ($\R$=0). In erster nichtverschwindender N"aherung wird das Potential um dieses Minimum beschrieben durch \begin{equation}V=V(0)+m{\omega_0}^2|\R|^2\end{equation} Als Gradient dieses Bindungspotentials egibt sich also \begin{equation}\mathbf{F}_V(\R)=-m{\omega_0}^2\R\label{F2}\end{equation} \end{enumerate} Mit diesen Voraussetzungen betrachten wir nun zun"achst ein Ein-Elektronen-System. Aus \eqref{F1} und \eqref{F2} folgt dann, dass das Sytem unter dem Einfluss einer harmonischen Welle durch folgende Differentialgleichung beschrieben wird \begin{equation} m\ddot{\R}=-e\E(0)\exp(-i\omega t)-m\wo\R-g\dot{\R} \end{equation} wobei zur Ber"ucksichtigung der Absorption noch der D"ampfungsterm $-g\dot{\R}$ eingef"uhrt wurde. Mit dem L"osungsansatz \begin{equation}\R=\R(0)\exp(-i\omega t)\end{equation} ergibt sich \begin{equation}\R=\frac{-e\E}{m(\wo-\ww)-i\omega g}\end{equation} weshalb die Frequenz $\omega_0$ Resonanz- oder Absorptionsfrequenz genannt wird. Mit \eqref{p} und \eqref{P} erh"alt man daraus \begin{equation}\Pl=N\frac{e^2\E}{m(\wo-\ww)-i\omega g}\label{Pl}\end{equation} Aus \eqref{E} und \begin{align} \Pl=&\eta\mathbf{E}\\ \Pl=&N\alpha\E\label{alpha} \\ \epsilon=&1+4\pi\eta \end{align} erh"alt man die Gleichung \begin{equation}\alpha=\frac{3}{4\pi N}\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}\end{equation} und daraus "uber die \eqref{mu} ber"ucksichtigende Maxwellrelation f"ur den Brechungsindex \begin{equation}n=\sqrt{\epsilon\mu}\approx\sqrt{\epsilon}\label{Maxwell}\end{equation} den Zusammenhang \begin{equation}\alpha=\frac{3}{4\pi N}\frac{n^2-1}{n^2+2}\end{equation} Mit \eqref{alpha} und \eqref{Pl} gilt dann \begin{equation}\frac{4\pi}{3}\frac{Ne^2}{m(\wo-\ww)-i\omega g}=\frac{n^2-1}{n^2+2}\label{n1e}\end{equation} Ber"ucksichtigt man nun noch die Tatsache, dass es sich um ein Mehrelektronensystem handelt, verallgemeinert sich Formel \eqref{n1e} zu \begin{equation}\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{4\pi}{3}Ne^2\sum\limits_k\frac{f_k}{m(\wk-\ww)-i\omega g}\label{nme}\end{equation} Die sogenannte Resonatorst"arke $f_k$ wird in erster Linie durch die Anzahl der f"ur den Resonanz"ubergang bei der Frequenz $\omega_k$ zur Verf"ugung stehenden Elektronen bestimmt. F"ur Gase mit $n\approx 1$ wird nun ferner $\frac{n^2-1}{n^2+2}$ durch $2(n-1)/3$ gen"ahert. Da beim untersuchten Stoff Argon die Absorptionsfrequenzen weit au"serhalb des untersuchten Frequenzbereichs liegen, kann "uberdies der Absorptionsterm $i\omega g$ ohne gro"sen Fehler unterdr"uckt und auch der Einflu"s der h"oheren Resonanzen mit $k>0$ vernachl"assigt werden, so da"s man schlie"slich mit $\omega=2\pi\nu$ \begin{equation}n-1=\frac{1}{2\pi}\frac{Ne^2}{m}\frac{f_0}{\no-\nn}\label{nCGS}\end{equation} im CGS-System oder \begin{equation}n-1=\frac{1}{8\pi^2\epsilon_0} \frac{Ne^2}{m}\frac{f_0}{\no-\nn}\label{nSI}\end{equation} im SI-System erh"alt. Misst man nun wie im vorliegenden Versuch $n-1$ in Abh"angigkeit von $\nu^2$ so erh"alt man aus dem Geradenfit \begin{equation} \begin{split} (n-1)^{-1}&=\alpha\nn+\beta\\ \alpha &=-\frac{8\pi^2\epsilon_0 m}{Ne^2f_0}\\ \beta &=-\alpha \no \end{split} \label{FitGl} \end{equation} Resonanzfrequenz und Resonatorst"arke. \subsection{Temperatur- und Druckkorrektur} Der Brechungsindex h"angt "uber die Teilchendichte $N$ von Druck und Temperatur ab, die w"ahrend der Messung nicht ohne weiteres als konstant angesehen werden k"onnen. Unter der N"aherung, dass es sich bei Argon um ein ideales Gas handelt, gilt $pV=n_{abs}kT$ oder $N\propto pT^{-1}$. Daher kann $N(T,p)$ und damit $(n-1)(T,p)$ durch Multiplikation mit dem Faktor $\frac{p_0{T_0}^{-1}}{pT^{-1}}$ auf Normalbedingungen umgerechnet werden. Die so erhaltenen Messwerte sind dann vergleichbar. \section{Versuchsaufbau} Die Messung des Brechungsindexes erfolgt mit einem Jamininterferometer, wie es in Abbildung 2 der Versuchsanweisung dargestellt ist. Das Licht einer Bogenlampe (Hg, sp"ater Cd) wird durch einen Spalt geschickt, der dann als koh"arente Lichtquelle dient. Mittels eines Pellin-Broca-Prismas und einer nachfolgenden Blende wird eine der Linien aus dem Linienspektrum der Bogenlampe selektiert. In einer Linse wird das Licht des Blendenspaltes kollimiert, so dass es ann"ahernd parallel auf den nun unter einem Winkel von $\alpha\approx 49\grad$ zur optischen Achse angebrachten ersten Planspiegel trifft. Durch Mehrfachreflexion an dessen Vorder- und R"uckseite wird der Lichtstrahl in mehrere parallele gegeneinander versetzte Strahlen aufgespalten (Amplitudenstrahlteiler), beobachtet werden von diesen Strahlen die Reflexion an der Vorderseite (S1, ca. 5\% Intensit"at) die erste Reflexion an der R"uckwand (S2, 90\%) und die erste Doppelreflexion (5\%). Von diesen drei Strahlen werden durch eine Blende die ersten beiden ausgew"ahlt und je durch eine von zwei exakt gleichlangen parallel in den Strahlengang gesetzten Messkammern der L"ange $l$ gef"uhrt. Hinter diesen befindet sich parallel zum ersten Planspiegel ein weiterer identischer Bauart, der mit einer Justierschraube leicht gegen den ersten geneigt werden kann. An diesem zweiten Planspiegel werden nun die beiden Strahlen in gleicher Weise mehrfachreflektiert wie am ersten Spiegel der Prim"arstrahl. Aufgrund des parallelen Aufbaus der beiden Spiegel "uberlagern sich beim Austritt aus dem zweiten Spiegel die Vorderseitenreflexion von S2 und die erste R"uckseitenreflexion von S1 mit gleicher Intensit"at (ca. 5\% der Ausgangsintensit"at). Die anderen Strahlen werden ausgeblendet. Der "uberlagerte Strahl wird mit einem Fernrohr beobachtet. Durch leichte Verkippung des zweiten Planspiegels um einen Winkel $\delta$ in der Vertikalen wird die L"ange des optischen Weges (OPL) der beiden Strahlen leicht unterschiedlich, es ergibt sich f"ur Spiegel der Dicke $a$ eine OPL-Differenz \begin{equation}\Delta\text{OPL}=\frac{\sin(2\alpha)}{\sqrt{n^2-\sin^2(\alpha)}}\quad\delta\end{equation} Durch zus"atzliche geringe Neigung in der Horizontalen werden im Fernrohr horizontale Interferenzstreifen (Interferenzen gleicher Neigung) sichtbar (Abb.~\ref{interfer}), benachbarte Interferenzstreifen kennzeichnen einen Gangunterschied von einer Wellenl"ange $\lambda$. \section{Versuchsdurchf"uhrung} Zun"achst wird der optische Aufbau mit der intensiven gr"unen Linie des Hg-Spektrums wie oben angegeben justiert. Die Linse wird so positioniert, da"s die Strahlen ungef"ahr in der Mitte der Messkammern fokussiert werden, damit der dortige Strahlquerschnitt minimiert und Reflexionen in den Messkammern vermieden werden. Sp"ater wird sie allerdings jeweils so umgesetzt, dass das Interferenzmuster maximale Sch"arfe gewinnt. \begin{figure}[htbp]\begin{center}\includegraphics{interfer}\caption{Im Fernrohr beobachtetes Interferenzmuster}\label{interfer}\end{center}\end{figure} Dann werden mit Hilfe des in Abbildung 2 der Versuchsanweisung dargestellten Gassystems beide Kammern bei offenem Ausgang mit Argon geflutet. Nach einigen Minuten sind die Kammern mit relativ reinem Argon bei Atmosph"arendruck gef"ullt. Die Gaszufuhr wird abgestellt, Ausgang und Verbindung der Messkammern werden geschlossen. Eine Mess\-kammer wird mit einer Vakuumpume "uber ein Dosierventil schrittweise evakuiert (bis ca. 0,5 mbar). Dadurch sinkt der Brechungsindex in dieser Kammer stetig auf den Vakuumwert 1. Die daraus resultierende Ver"anderung der optischen Wegl"ange $n(p)\cdot l$ bewirkt eine horizontale Wanderung der Interferenzstreifen. Die am Fadenkreuz im Fernrohr vorbeiziehenden Interferenzstreifen (Abb.~\ref{interfer}) werden gez"ahlt, bis das Interferenzbild schlie"slich bei Erreichen eines hinreichenden Unterdrucks stehen bleibt. Die Zahl $z$ der vorbeigezogenen Interferenzstreifen ist dann genau der Unterschied der OPL in Argon und im Vakuum in Einheiten der Wellenl"ange, so dass also \begin{align} (n-1)l&=z\lambda\\ n-1&=\frac{z\lambda}{l}\label{nexp} \end{align} Zus"atzlich werden Atmosph"arendruck und Raumtemperatur gemessen. Das beschriebene Verfahren wird f"ur sechs Linien aus den beiden Spektren je zweimal durchgef"uhrt. Da die gelbe Doppellinie aus dem Hg-Spektrum mit blo"sem Auge nicht aufgel"ost werden kann, wird hier mit der Blende der kurzwellige Rand der Doppellinie (n"aher zum Blauen hin) zur Messung ausgew"ahlt. \section{Ergebnisse und Fehler} \subsection{Messwerte} Es wurden die Messwerte in Tabelle~\ref{Mess} aufgenommen. Bei der Berechnung von n-1 wird die gemessene Kammerl"ange $l=(367\pm 0,5)\unit{mm}$ benutzt. Bei der Berechnung des Korrekturfaktors flie"st $T_0=273,15\unit{K}$ und $p_0=1013,25\unit{mbar}$ ein. \begin{table}[htb] \begin{center} {\small \begin{tabular}{|ccccccccc|} \hline $\lambda$/nm & $\nu$/THz & z & $\Delta$z & p/mbar & T/\grad C & Korrektur & $n-1$ & $(n-1)_{korr}$ \\ \hline 546,07 & 549,00 & 180 & 3 & 1012 & 19,46 & 1,0726 & 2,68E-04 & 2,87E-04 \\ & & 178 & 3 & 1011 & 19,52 & 1,0738 & 2,65E-04 & 2,84E-04 \\ 576,96 & 519,61 & 163 & 4 & 1011 & 19,60 & 1,0741 & 2,56E-04 & 2,75E-04 \\ & & 167 & 4 & 1004 & 18,42 & 1,0773 & 2,63E-04 & 2,83E-04 \\ 435,83 & 687,87 & 197 & 10 & 1003,5 & 18,94 & 1,0797 & 2,34E-04 & 2,53E-04 \\ & & 222 & 6 & 1003,5 & 19,20 & 1,0807 & 2,64E-04 & 2,85E-04 \\ & & 191 & 10 & 1003,2 & 19,40 & 1,0818 & 2,27E-04 & 2,45E-04 \\ & & 221 & 6 & 1003 & 19,60 & 1,0827 & 2,62E-04 & 2,84E-04 \\ 508,58 & 589,47 & 190 & 4 & 1003 & 19,86 & 1,0837 & 2,63E-04 & 2,85E-04 \\ & & 190 & 4 & 1002,9 & 19,89 & 1,0839 & 2,63E-04 & 2,85E-04 \\ 479,99 & 624,58 & 195 & 6 & 1002,8 & 19,95 & 1,0842 & 2,55E-04 & 2,77E-04 \\ & & 200 & 4 & 1002,8 & 19,99 & 1,0844 & 2,62E-04 & 2,84E-04 \\ 467,88 & 640,75 & 205 & 8 & 1002,8 & 20,05 & 1,0846 & 2,61E-04 & 2,83E-04 \\ & & 201 & 8 & 1002,8 & 20,12 & 1,0848 & 2,56E-04 & 2,78E-04 \\ 643,85 & 465,62 & 145 & 4 & 1002,5 & 20,18 & 1,0854 & 2,54E-04 & 2,76E-04 \\ \hline \end{tabular}}\caption{Messwerte}\label{Mess} \end{center}\end{table} \subsection{Fehlerbetrachtung und Geradenfit} In die Messung flie"sen eine ganze Reihe von Fehlern ein, von denen aber, wie im folgenden gezeigt wird, der Fehler bei der Messung von z bei weitem dominiert. Dieser Fehler r"uhrt haupts"achlich aus der \begin{itemize} \item Schwierigkeit der Messung: Der Messende muss "uber mehrere Minuten mit einem Auge die Bewegung einer lichtschwachen Beugungsfigur verfolgen und dabei das andere Auge zukneifen oder abdecken. Au"serdem muss er den Kopf sehr still halten, da er sonst das Beugungsbild im Fernrohr aus dem Blick verliert. Zus"atzlich wird die Beobachtung des Beugungsbildes durch Reflexionsbilder des Auges und der Wimpern erschwert, die selbst bei abgeschaltetem Raumlicht nicht verschwinden. Dieser Fehler wurden auf Grundlage der Geschwindigkeit der sich bewegenden Beugungsstreifen, ihrer Intensit"at und der Sicherheit des Messenden, korrekt gez"ahlt zu haben, bei jeder Messung einzeln quantifiziert (2-9). \item Die implizite Rundung auf ganzzahlige $z$ verursacht einen zus"atzlichen Fehler von ca. 1-2 Streifen. \end{itemize} Da es sich hier um statistische Fehler handelt, k"onnten sie durch eine gr"o"sere Anzahl an Messungen minimiert werden; dazu fehlte aber leider die Zeit. \\ Systematische Fehler, die die Messung der Zahl $z$ beeinflussen, sind damit verglichen relativ klein: \begin{itemize} \item nichtvollst"andige Evakuierung der Messkammer: kleiner als ein Streifen, da sich am Ende der Evakuierung im Bereich etwa zwischen 5 und 0,5 mbar das Beugungsbild schon nicht mehr bewegt. \item Unreinheit des Argongases: der Einfluss dieses Faktors ist nur schwer abzusch"atzen, allerdings d"urfte die Argonstr"omung von etwa 5~l/min den R"uckfluss durch Diffusion bei weitem "ubertreffen, insbesondere wenn man ber"ucksichtigt, dass die Austritts"offnung nur einen kleinen Radius (im mm-Bereich) hat. Aus letzterem Grund ist wohl auch der R"uckflu"s von Luft nach Abstellen des Gaszuflusses und vor Schlie"sen der Austritts"offnung eher klein. Der Fehler d"urfte daher deutlich unter einem Prozent liegen. \end{itemize} Insgesamt ergeben sich damit f"ur $\Delta z$ die in Tab.~\ref{Mess} gegebenen Werte.\\ In die Bestimmung der optischen Wegl"ange flie"st auch der Fehler der Wellenl"ange ein. Dass die Wellenl"ange auf zwei Nachkommastellen angegeben wird, berechtigt zu dem Schluss, dass hier nur ein Fehler in der Gr"o"senordnung von Promille vorliegt, der ohne weiteres vernachl"assigt werden kann. Daher k"onnen auch die x-Werte im Fit als fehlerfrei angesehen werden. Die nichtverschwindende Linienbreite verf"alscht die Messung nicht: w"ahrend der Messung bleiben die Interferenzstreifen stets deutlich getrennt, so dass also das Messergebnis f"ur alle Frequenzen innerhalb dieser Linienbreite gleich ausfallen w"urde, wenn man sie einzeln selektieren k"onnte.\\ Schlie"slich geht noch der Fehler der L"angemessung in die Bestimmung von $n-1$ ein. Als Fehlerformel (Methode der kleinsten Quadrate) f"ur $(n-1)^{-1}$ ergibt sich mit \eqref{nexp}: \begin{equation} \begin{split} \Delta\left((n-1)^{-1}\right)&=\sqrt{\left(\frac{\partial}{\partial z}(n-1)^{-1}\Delta z\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial l}(n-1)^{-1}\Delta l\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{l}{z^2\lambda}\Delta z\right)^2+\left(\frac{1}{z\lambda}\Delta l\right)^2} \end{split}\label{fehler}\end{equation} Schlie"slich ist auch die Temperatur- und Druckkorrektur noch fehlerbehaftet. Die Temperaturfehler liegen bei etwa 0,2~K, bedingt zu einem kleinen Teil durch den Ablesefehler (etwa 0,05~K) und den Eichfehler des Thermometers (0,05~K), zu einem Gro"steil jedoch durch die k"orperw"armebedingte Erw"armung der Raumluft w"ahrend einer Messung (0,1~K). Bei Absolutwerten um 300~K ist das ein Fehler im Promillebereich. Der Druckfehler liegt bei ca. 2-3~mbar, davon 1~mbar Ablesefehler und 2~mbar Eichfehler. Auch dieser Einfluss also im Promillebereich. Der Fehler durch die Annahme eines idealen Gases ist bei Raumtemperatur sehr gering. Die G"ute dieser N"aherung kann qualitativ durch die Temperaturdifferenz zum Siedepunkt abgesch"atzt werden. Dieser liegt bei Argon bei 87,45~K \cite{Klein::1997}, also sehr weit vom beobachteten Temperaturbereich entfernt.\\ Ber"ucksichtigt man nun zus"atzlich noch die Tatsache, dass der Gesamteinfluss des Korrekturfaktors auf den Messwert f"ur $n-1$ unter 9\% liegt, so wird klar, dass man den Fehler des Korrekturfaktors gegen"uber den um eine Gr"o"senordnung gr"o"seren Fehlern aus der Bestimmung von $z$ vernachl"assigen kann. \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{|ccccc|} \hline $\nu$/THz & $\nu^2$/(THz)$^2$ & $(n-1)_{korr}$ & ${(n-1)_{korr}}^{-1}$ & $\Delta(n-1)^{-1}$\\ \hline 549,00 & 301401 & 2,873E-04 & 3481,1 & 62,3 \\ & 301401 & 2,844E-04 & 3516,1 & 63,7 \\ 519,61 & 269992 & 2,753E-04 & 3633,1 & 95,8 \\ & 269992 & 2,828E-04 & 3535,7 & 91,3 \\ 687,87 & 473159 & 2,526E-04 & 3958,8 & 217,0 \\ & 473159 & 2,849E-04 & 3509,9 & 102,5 \\ & 473159 & 2,454E-04 & 4075,6 & 230,8 \\ & 473159 & 2,842E-04 & 3519,2 & 103,5 \\ 589,47 & 347475 & 2,853E-04 & 3504,7 & 80,0 \\ & 347475 & 2,854E-04 & 3504,0 & 80,0 \\ 624,58 & 390101 & 2,765E-04 & 3616,4 & 120,7 \\ & 390101 & 2,836E-04 & 3525,6 & 76,5 \\ 640,75 & 410556 & 2,835E-04 & 3527,9 & 149,3 \\ & 410556 & 2,780E-04 & 3597,2 & 155,3 \\ 465,62 & 216806 & 2,761E-04 & 3621,8 & 108,5 \\ \hline \end{tabular}\caption{Ausgangsdaten f"ur den Fit nach \eqref{FitGl}}\label{fit}\end{center}\end{table} Aus den Messwerten in Tab.~\ref{Mess} und aus \eqref{fehler} erh"alt man die f"ur den Fit ben"otigten Daten, zu sehen in Tabelle \ref{fit}. Mit diesen Daten wird direkt ein fehlergewichteter Geradenfit durchgef"uhrt. Eine vorherige Mittelung f"ur gleiche x-Werte ist nicht sinnvoll. Dadurch entstehen erstens zus"atzliche Rundungsfehler, zweitens erh"alt man nur bei Verwendung der ungemittelten Daten die korrekten Werte f"ur Steigungs- und Achsenabschnittsfehler und f"ur die G"ute des Fits. Die vorherige Mittelung f"uhrt zu einer Untersch"atzung dieser Fehler. \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{|llll|} \hline \multicolumn{4}{|l|}{\textbf{mit Ausrei"sern}}\\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{Linear Regression}\\ \multicolumn{4}{|l|}{$(n-1)^{-1} = \alpha\nu^2+\beta$}\\ \multicolumn{4}{|l|}{Weight given by error bars.}\\ \multicolumn{4}{|l|}{}\\ Param. &Value &Error &\\ \hline $\beta$ &3486,1 &119,6 &\\ $\alpha$ &1,63E-4 &3,42E-4&\\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{}\\ R &SD &N &P\\ \hline 0,13086 &0,982 &15 &0,64204\\ \hline \multicolumn{4}{l}{}\\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{\textbf{ohne Ausrei"ser}}\\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{Linear Regression:}\\ \multicolumn{4}{|l|}{$(n-1)^{-1} = \alpha\nu^2+\beta$}\\ \multicolumn{4}{|l|}{Weight given by error bars.}\\ \multicolumn{4}{|l|}{}\\ Param. &Value &Error&\\ \hline $\beta$ &3583,3 &69,2&\\ $\alpha$ &-1,56E-4 &2,00E-4&\\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{}\\ R &SD &N &P\\ \hline -0,228671 &0,5491 &13 &0,45239\\ \hline \end{tabular} \caption{Output der Geradenfits}\label{FitOut} \end{center} \end{table} Die Ausgabe des Datenanalyse-Programms findet sich in oberen Teil von Tabelle~\ref{FitOut}, der Plot der Daten und des Fits in Abbildung~\ref{FitGraph}. Die vorhandenen Daten sind also nicht geeignet, den theoretisch hergeleiteten Zusammenhang zu best"atigen, da die lineare Korrelation $R$ von $(n-1)^{-1}$ und $\nu^{2}$ nur 13,1~\% betr"agt. Die Wahrscheinlichkeit, dass $R$ gleich 0 ist, betr"agt immerhin 64,2~\%.\\ Nimmt man jedoch den hergeleiteten Zusammenhang als \frspr{a priori} gegeben an, k"onnen die Standardabweichung der Messdaten und die Fehler von Steigung und Achsenabschnitt verkleinert werden, wenn bei einem weiteren Fit die beiden offensichtlichen Ausrei"ser der indigoblauen Hg-Linie nicht ber"ucksichtigt werden. Damit ergeben sich die Fitparameter wie im unteren Teil von Tabelle~\ref{FitOut}, der Plot ist in Abbildung~\ref{FitGraph} dargestellt. Man erh"alt also: \begin{tabbing} Steigung $\alpha$\qquad \=$-1,56 \cdot 10^{-28}\unit{s}^2$\qquad \=$\pm2,00 \cdot 10^{-28}\unit{s}^2$\\ Abschnitt $\beta$ \>$3583,3$ \>$\pm69,2$ \end{tabbing} \begin{figure}[phtb] \begin{center} \includegraphics{disp} \caption{Geradenfit mit Ausrei"sern und ohne dieselben}\label{FitGraph} \end{center} \end{figure} \subsection{Auswertung} Aus den aus dem Geradenfit erhaltenen Parametern k"onnen nun mit Hilfe von \eqref{FitGl} die gesuchten Gr"o"sen $f_0$, $\nu_0$, und $\epsilon_r$ berechnet werden. Die Fehler werden nach \begin{equation}\Delta f(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial \alpha}(\alpha,\beta)\cdot\Delta\alpha\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial \beta}(\alpha,\beta)\cdot\Delta\beta\right)^2} \end{equation} berechnet. \subsubsection{Resonatorst"arke der ersten Argonresonanz} Die Resonatorst"arke berechnet sich nach \eqref{FitGl} aus der Geradensteigung $\alpha$ durch \begin{equation} \begin{split} f_0&=-\frac{8\pi^2\epsilon_0 m}{N_0e^2\alpha}\\ &=:-c\alpha^{-1}\\ \\ \Delta f_0&=|c\alpha^{-2}\cdot\Delta\alpha| \end{split} \end{equation} Daraus ergibt sich unter Verwendung von \begin{equation}N_0=p_0/(kT_0)=2,6873\cdot10^25\unit{m}^{-3}\end{equation} die Resonatorst"arke zu $f_0=5,92\pm 7,59$. Der Fehler ist aufgrund des gro"sen Fehlers im Fit recht gro"s. Der Wert von $f_0$ stimmt halbwegs mit dem Literaturwert von $4,62$ \cite{Fluegge::1961} "uberein; ein wesentlich besseres Ergebnis ist aufgrund der Tatsache, dass man weit entfernt von der Resonanz misst, nicht zu erwarten. \subsubsection{Frequenz der ersten Argonresonanz} Nach \eqref{FitGl} gilt f"ur die Resonanzfrequenz $\nu_0$ \begin{equation}\nu_0=\sqrt{-\frac{\beta}{\alpha}}\end{equation} und damit \begin{equation}\Delta \nu_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\beta}{|\alpha|^{3}}(\Delta\alpha)^2+\frac{1}{\beta|\alpha|}(\Delta\beta)^2} \end{equation} Daraus erh"alt man die Resonanzfrequenz $\nu_0=4790\unit{THz}\pm3070\unit{THz}$, ebenfalls relativ gut im Einklang mit dem Literaturwert von $4230\unit{THz}$ aus \cite{Fluegge::1961}. \subsubsection{Statische Dielektrizit"atszahl des Argon} Die statische Dielektrizit"atszahl f"ur Argon erh"alt man aus dem Grenz"ubergang $\nu\rightarrow0$ von \eqref{FitGl} mit der Maxwellrelation \eqref{Maxwell} \begin{equation}\epsilon_r=(\beta^{-1}+1)^2\end{equation} und \begin{equation}\Delta\epsilon_r=2\frac{1+\beta}{\beta^3}\Delta\beta\end{equation} Durch Einsetzen folgt $\epsilon_r=1+5,58\cdot10^{-4}$ und ein Fehler $\Delta\epsilon_r=0,11\cdot10^{-4}$. Dieser Wert l"asst sich mit einem vertretbaren Fehler aus den gemessenen Daten berechnen, weil er nur vom relativ sicher bekannten Achsenabschnitt und nicht von der Steigung abh"angt; oder in anderen Worten: was man misst, ist nahezu die statische Elektrizit"atskonstante. Denn $\sqrt{\epsilon_r}-1$ ist $2,79\cdot10^{-4}$; wie man sieht liegt dieser Wert sehr nahe bei den gemessenen Werten f"ur $n-1$. Der Literaturwert f"ur $\epsilon_r$ von Argon lautet $1+5,54\cdot10^{-4}$, hier weicht die Messung also auch nur wenig von dem bekannten Wert ab (ungef"ahr 1\% f"ur die ($\epsilon-1$)-Werte). \section{Diskussion} Die gemessenen Daten sind aufgrund ihrer geringen Anzahl und der Schwierigkeit, eine hinreichend genaue Messung durchzuf"uhren, nicht geeignet, die theoretisch hergeleitete Dispersionsrelation zu verifizieren. Nimmt man diese allerdings als gegeben an, erh"alt man aus der Messung einigerma"sen befriedigende Werte f"ur die charakteristischen Daten der ersten Argonresonanz ($f_0=5,92\pm 7,59$, $\nu_0=4790\unit{THz}\pm3070\unit{THz}$) und einen guten Wert f"ur die statische Dielektrizit"atszahl des Argon ($\epsilon_r=1+5,58\cdot10^{-4}$, $\Delta\epsilon_r=0,11\cdot10^{-4}$). \bibliography{e} \bibliographystyle{gerplain} \end{document}