\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article} \usepackage{a4,ngerman,amsmath,amssymb,times,graphics} \usepackage{bibgerm} \author{Michael Nirschl, Moritz Ringler} \numberwithin{equation}{section} \newcommand{\dx}[1]{\>\text{d}#1} \newcommand{\wa}{\ensuremath{\omega_A}} \newcommand{\fourier}[1]{\mathcal{F}\left(#1\right)} \newcommand{\fourie}[2]{\left(\fourier{#1}\right)\left(\omega\right)} \newcommand{\fournb}[1]{\mathcal{F}#1} \newcommand{\founb}[2]{\left(\fournb{#1}\right)\left(\omega\right)} \newcommand{\unit}[1]{\text{ #1}} \newcommand{\no}{\ensuremath{\nu_0}} \newcommand{\na}{\ensuremath{\nu_A}} \title{Protokoll zum FP-Versuch E208\\Fouriertransformation und nichtlinearer Oszillator} \date{08./09.05.2000} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \section{Thema} Im ersten Teil dieses Versuchs werden am Computer die Eigenschaften der schnellen Fouriertransformation und insbesondere m"ogliche Fehlerquellen bei der FFT studiert. Im zweiten Teil wird am Beispiel eines Serienschwingkreises mit Kapazit"atsdiode das Verhalten nichtlinearer physikalischer Systeme untersucht und mit dem Modell des Toda-Oszillators verglichen. \section{Theorie} \subsection{Die Schnelle Fouriertransformation} Bei der Fouriertransformation wird ein Zeit-Signal $f(t)$, das bestimmte mathematische Kriterien erf"ullt\footnote{Hinreichend ist z. B. das Kriterium von Dirichlet-Jordan: $f(t)$ habe in jedem endlichen Teilintervall h"ochstens endlich viele Sprungstellen, $f$ sei in jedem endlichen Teilintervall von beschr"ankter Schwankung und $\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(t)\rvert\dx{t}$ konvergiere, dann ist $f(t)$ als Fourierintegral darstellbar.}, als Integral "uber $\omega \epsilon \mathbb{R}$ der Funktionen $e^{i\omega t}$ dargestellt. Die Koeffizienten $F(\omega)$ sind das (Frequenz-)Spektrum von $f$, die Funktion $F$ oder $\fournb{f}$ hei"st die Fouriertransformierte von $f$ und berechnet sich als \begin{equation}F(\omega)=(2\pi)^{-1}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)\> e^{-i\omega t} \dx{\omega} \end{equation} Es gilt das Fourierfaltungstheorem \begin{eqnarray} \fourier{f\ast g}=FG\\ F\ast G=\fourier{fg}\label{falt} \end{eqnarray} Im Versuch wird anhand eines endlichen Satzes von Abtastwerten, eine endliche Zahl von Werten der Fouriertransformierten berechnet (diskrete Fouriertransformation, DFT). Das Integral geht dabei in eine endliche Summe "uber. Die Formel lautet: \begin{equation}\overline{F}\left(\frac{m}{N}\omega_A\right)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}f_n\ast \exp\left(-i\frac{m}{N}\omega_At_n\right)\end{equation}\label{dft} wobei $N$ die Anzahl der Abtastwerte bedeutet, $m$ von $0$ bis $N-1$ l"auft, $\wa=2\pi/T_A$ die Abtastfrequenz angibt, und $f_n$ den Abtastwert von $f$ zur Zeit $t_n=nT_A$ darstellt. Ein spezieller Algorithmus der die Symmetrien von $\overline{F}\left(\frac{m}{N}\wa\right)$ ausnutzt und insbesondere von der M"oglichkeit Gebrauch macht, eine DFT mit $2N$ Abtastwerten in zwei DFTs mit $N$ Abtastwerten zu zerlegen, ist die Schnelle Fouriertransformation (FFT). Mit diesem Algorithmus kann der Rechenaufwand f"ur Abtastwertes"atze mit $2^k, k\epsilon \mathbb{N}$ Elementen gegen"uber der direkten Berechnung jedes einzelnen Wertes nach Gl.~\eqref{dft} drastisch vermindert werden; so ist etwa f"ur $k=9$ die FFT mehr als 100fach schneller. \subsection{Abtastung}\label{th.abtastung} Wie bereits oben erw"ahnt, wird im vorliegenden Fall, die Fouriertransformation anhand eines diskreten Satzes von Abtastwerten numerisch durchgef"uhrt. Mathematisch kann man die Abtastung als Auswertung des Produkts der abgetasteten Funktion mit einer Kamm-Funktion und einer Filterfunktion ansehen. Man betrachte der Einfachheit halber (etwas unrealistisch) einen sogenannten Dirac-Kamm $c_{T_A}$, der aus unendlich vielen Diracfunktionen im Abstand $T_A$ symmetrisch um die Null besteht, und vernachl"assige zun"achst den Filter. Es gilt $\smash{\mathcal{F}}c_{T_A}=c_{2\pi/T_A}=c_{\wa}$. Dann gilt f"ur die abgetastete Funktion $f_A(t)$ nach Gl.~\eqref{falt} \begin{equation} \begin{split} \founb{f_A}{\omega}&=\fourie{f\>c_{T_A}}{\omega}\\ &=\left(F\ast c_{\omega_A}\right)(\omega) \end{split} \end{equation} In Worten hei"st das, dass im Frequenzspektrum jeweils die Werte $z\>\omega_A$ der Null "aquivalent sind, das Spektrum wiederholt sich also im Abstand von \wa. Ist nun $f$ bandbreitenbegrenzt, das hei"st, gilt $F(\omega)=0$ f"ur $\lvert\omega\rvert>B$, und gilt ferner die Abtastbedingung \begin{equation}\wa\frac{\sin(\omega)}{\omega}$. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics{rbh_small2} \end{center} \caption{Fouriertransfomierte der im Versuch verwendeten Filter}\label{filter} \end{figure} \subsection{Der nichtlineare Oszillator} Im Versuch wird ein nichtlinearer Serienschwingkreis aus Induktivit"at $L$, ohmschem Widerstand $R$ und nichtlinearer Kapazit"at $C$ studiert. Als Modell f"ur diesen Schwingkreis dient der Toda-Oszillator: hier wird das Verhalten der Kapazit"atsdiode insofern idealisiert, als man einen Pol der Kapazit"at bei der Durchlassspannung $-U_0$ annimmt. Tats"achlich bleibt die Kapazit"at f"ur $U\downarrow-U_0$ endlich und geht erst mit $U\rightarrow-\infty$ gegen unendlich. Als Formel f"ur $C$ nimmt man also an \begin{align} C(U)&=\frac{C_0U_0}{U_0+U}\\ \intertext{woraus folgt} U(Q)&=U_0 \left(\exp\left(\frac{Q}{C_0U_0}\right)-1\right) \end{align} Die Differentialgleichung des Toda-Oszillators lautet in dimensionslosen Gr"o"sen \begin{equation}\ddot{q}+r\dot{q}+e^q-1=a\cos(\omega t)\end{equation} wobei $r$ proportional zur D"ampfung und $a$ proportional zur Anregung ist. Mittels Taylorentwicklung erster Ordnung wird diese Gleichung diskretisiert und in das System von Differenzengleichungen \begin{align}\dot{q}\rvert_{n+1}&=\dot{q}|_n(1-r\,\Delta t)+\left(a\cos(n\omega\,\Delta t)-e^{q_n}+1\right)\,\Delta t \\ q_{n+1}&=q_n+\dot{q}\rvert_n \end{align} "uberf"uhrt, wobei $q_n=q(n\,\Delta t)$ und $\dot{q}\rvert_n=\dot{q}(n\,\Delta t)$. Dieses Gleichungssystem liegt den vom Computer berechneten Werten zugrunde. Nichtlineare Systeme wie der nichtlineare Oszillator oder die logistische Gleichung $x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$ zeigen bei Erh"ohung des Kontrollparameters $a$ folgendes Verhalten f"ur gro"se $n$. Zun"achst gibt es nur einen einzigen Fixpunkt, dann erfolgen im periodischen Gebiet sukzessive Bifurkationen, d.\,h. bei Werten $a_m$ des Kontrollparameters verdoppelt sich die Anzahl der Fixpunkte auf $2^m$; die neuen Fixpunkte haben die doppelte Periode. F"ur die Werte $a_m$ gilt \begin{equation}a_m=a_\infty-c\cdot\delta^m, m\gg1\label{delta}\end{equation} F"ur die gemittelten Linienst"arken $I$ zweier aufeinanderfolgender Bifurkationen gilt \begin{equation}\overline{\lvert I_{m+1}\rvert}=\mu^{-1} \overline{\lvert I_{m}\rvert}, m\gg1\label{alpha}\end{equation} wobei $\mu=4\alpha/\sqrt{2+2\alpha^{-2}}$ und $\alpha\approx2,5029$ und $\delta\approx4,6692$ die universellen Feigenbaumkonstanten sind. \section{Beschreibung} \subsection{Fouriertransformation} Im ersten Versuchsteil wird mittels des Computerprogrammes fp-fft93\footnote{Beschreibung von fp-fft93 und fpmess93 in \cite{Peters::1988}} die schnelle Fouriertransformation untersucht. Zun"achst wird an einem simulierten idealen Datensatz der Einfluss der verschiedenen FFT-Parameter bei idealer Abtastung untersucht. Die folgenden Parameter werden jeweils einzeln variiert: \begin{itemize} \item{APP, Abtastungen pro Periode $=\omega_a/\omega$} \item{\#DP, Anzahl der Abtast-Datenpunkte} \item{Filter- oder Fensterfunktion} \end{itemize} Daraufhin wird am Rechner eine reale Datenabtastung simuliert, hier k"onnen die Auswirkungen von (wei"sem) Rauschen sowie von endlicher Abtastzeit (mit Mittelwerterfassung und Spitzenwerterfassung) auf das Spektrum beobachtet werden. Schliesslich werden reale Signale eines Frequenzgenerators aufgenommen. Dazu wird der Ausgang des ersten der beiden verf"ugbaren Funktionsgeneratoren auf den Eingang des Analog-Digital-Wandlers (ADC) f"ur die Abtastfrequenz gegeben. Da dieses Signal nur als Trigger benutzt wird spielt die Signalform hier keine Rolle. Der Ausgang des zweiten Funktionsgenerators wird an den Signalmesseingang des ADC angeschlossen. Es werden vergleichbare Parameter gew"ahlt wie bei der vorangegangenen Simulation, damit die erhaltenen Spektren miteinander verglichen werden k"onnen. \subsection{Nichtlinearer Oszillator} Der Serienschwingkreis (Kenngr"o"sen in \cite{Peters::1988}) wird zusammengesteckt, "Uber einen entkoppelnden Transformator wird er an den Funktionsgenerator angeschlossen, der die Anregungsspannung liefert. Diese wird "uber dem Ausgang des Transformators abgenommen und sowohl auf den x-Kanal des Oszilloskops, als auch auf den Messeingang des ADC f"ur die Anregungsfrequenz gegeben. "Uber dem Potentiometer $R$ wird im Schwingkreis $\dot{Q}$ abgenommen und auf die y-Ablenkung des Oszilloskops und den Signaleingang des ADC gegeben. Eine Schaltskizze findet sich in \cite[Abb.~41]{Peters::1988}. Mit Hilfe des Oszilloskops bestimmt man die Frequenz, bei der durch Erh"ohung der anregenden Amplitude die meisten Bifurkationen erreicht werden k"onnen, ohne dass das System zu chaotischem Verhalten "ubergeht. Hierbei m"ussen zwei Parameter ver"andert werden: die Amplitude und die Frequenz der anregenden Spannung. Dazu gehen wir wie folgt vor: zun"achst wird die Amplitude fast voll aufgedreht und dann bei niedrigen Frequenzen beginnend die Frequenz erh"oht, bis die dritte Bifurkation sichtbar wird. Dann wird die Frequenz weiter erh"oht; sobald Chaos eintritt, wird die Amplitude vermindert, bis das periodische Gebiet wieder erreicht ist. Schliesslich w"ahlen wir die Frequenz mit den meisten Bifurkationen. Bei dieser Frequenz werden nun mit fpmess93 die "Ubergangsamplituden $a_m$ der anregenden Spannung bestimmt, zwischen den "Uberg"angen wird das Spektrum des Oszillators aufgenommen. Mit Hilfe der $a_m$ zeichnet man das Bifurkationsdiagramm und bestimmt nach Gl.~\eqref{delta} die Feigenbaumkonstante $\delta$. Aus den Intensit"aten der Spektren l"asst sich mittels Gl.~\eqref{alpha} die Feigenbaumkonstante $\alpha$ absch"atzen. Zum Schluss werden noch Datens"atze aus interessanten Bereichen des programmierten Toda-Oszillators mit \begin{tabbing} $L$\qquad\=160\quad\=mH\\ $R$\> 1.9\> k$\Omega$\\ $C_0$\> 550\> pF\\ $U_0$\> 1.2\> V\\ $f_0$\> 16.96\> kHz \end{tabbing} erzeugt und deren Spektren mit denen des realen Oszillators verglichen. \section{Ergebnisse und Fehler} \subsection{Fouriertransformation} \subsubsection{Die FFT mit idealer Abtastung} Zun"achst untersuchen wir hier den Einfluss des APP-Wertes, anders ausgedr"uckt also des Verh"altnisses von Abtast- zu Signalfrequenz(en). Als erstes betrachten wir eine Sinusschwingung mit folgenden Parametern: \begin{tabbing} Funktion\qquad\=Sinus\\ \#DP\>1024\\ Fenster\>keines \end{tabbing} Im wesentlichen ist in allen Spektren eine einzelne Linie zu sehen, was klar ist, wenn man ber"ucksichtigt, dass standardm"a"sig negative Frequenzen in den positiven Frequenzbereich gespiegelt werden.\\ Da in den Spektren die Frequenz in Bruchteilen der Abtastfrequenz aufgetragen wird, erwartet man als Idealverhalten einen $\delta$-Peak bei beim Kehrwert des eingestellten APP-Wertes. Von diesem Idealverhalten weicht das Ergebnis bei APP-Werten $<2$ deutlich ab, da die in Abschnitt~\ref{th.abtastung} erl"auterte Abtastbedingung verletzt wird. Die zugeh"orige Messreihe findet sich in Tabelle~\ref{alias}. Der Aliasing-Effekt zeigt sich hier darin, dass bei Abtastfrequenzen $\na<2\nu$ eine um \na\/ falsche Frequenz angegeben wird. Au"serdem wird die Peakform in diesem Bereich schlechter, was aber eher auf die nichtganzzahligen APP zur"uckzuf"uhren ist. \begin{table}[hbtp] \begin{center} \begin{tabular}{|l|ccccc|} \hline APP & 8.0 & 4.0 & 2.0 & 1.5 & 0.7 \\ 1/APP & 0.125 & 0.25 & 0.5 & 0.67 & 1.42 \\ $\nu/\na $ & 0.12-0.13 & 0.25 & 0.5 & (-)0.33 & 0.42 \\ Abweichung & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ Peakbreite & schmal & schmal & schmal & breit & s. Ausdruck~1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Spektren einer Sinusschwingung f"ur verschiedene Werte von APP}\label{alias} \end{table} Als n"achstes untersuchten wir eine Rechteckschwingung mit \begin{tabbing} Funktion\qquad\=Rechteck\\ \#DP\>1024\\ Fenster\>keines\\ APP\>6$\pi$ \end{tabbing} Der APP-Wert bezieht sich auf die Periode der Rechteckschwingung. Da die Rechteckschwingung aber keine bandbeschr"ankte Funktion ist \begin{equation}f(t)=\frac{8\,f_{+}}{T}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\left((2k+1)\omega_0 t\right)}{2k+1}\end{equation} machen sich Aliasing-Effekte bemerkbar. Wie in Ausdruck~2 zu sehen, werden alle Fourieranteile mit $k>4$ nicht richtig im Spektrum dargestellt , so ist z.\,B. f"ur $k=5$ der Peak nicht bei $11/\text{APP}=0.584$ dargestellt, sondern bei $0.42\approx\lvert0.584-1\rvert$. Interessant ist auch, dass die Amplituden regelm"a"sig nicht bei den erwarteten Werten liegen (Kehrwerte im Verh"altnis (1:3:5:7:9:11\dots) sondern stark um diese Werte schwanken (1:2.57:5.44:6.69:7.44:13.46\dots). In erster Linie d"urfte das auf die unterschiedliche Peakbreite zur"uckzuf"uhren sein, aber zum Teil liegt es wohl auch daran, dass bei einigen Frequenzen h"ohere und niedrigere Harmonische aufgrund von Aliasing zusammenfallen. Im n"achsten Schritt betrachteten wir den Einfluss der Fenster- oder Filter-Funktionen auf das Spektrum, indem wir den Datensatz der einzelnen Sinusschwingung \begin{tabbing} Funktion\qquad\=Sinus\\ \#DP\>1024\\ APP\>8 \end{tabbing} mit den Filtern Rechteck, Bartlett und Hanning (Ausdrucke~3-5) filterten. Vergleichbarkeit ist hier nur bedingt gegeben, da die unterschiedlichen Filterbreiten nicht bekannt sind. Dennoch werden qualitativ die theoretischen "Uberlegungen aus Abschnitt~\ref{th.abtastung} best"atigt. Anschaulich kann man das auch so verstehen, dass die Rechteckfunktion eine scharfe Hauptlinie hat, aber noch relativ ausgepr"agte Oberschwingungen; die Dreieckfunktion kommt einem einzelnen Sinus recht nahe und hat daher eine relativ breite Hauptlinie und schwache Oberfrequenzen; der $(1+\cos^2)$-Hanningfilter liegt in etwa dazwischen. Allerdings hat er in unserem Ausdruck noch deutlich schw"achere Oberschwingungen als der Bartlett-Filter. Die Beobachtungen aus \cite{Peters::1988} zum Vergleich von ganzzahligem und irrationalem APP-Wert k"onnen von uns nicht best"atigt werden. In den Ausdrucken der Dreicksschwingung mit ganzzahligen APP (Ausdruck~7) und der Rechteckschwingung mit "`irrationalen"' APP (Ausdruck~2) f"allt lediglich auf, dass das Dreiecksignal deutlich schw"achere Oberschwingungen enth"alt (sie klingen mit $(2k+1)^2$ ab) und ausserdem die h"oheren Oberschwingungen wegen der ganzzahligen APP exakt auf den vorangehenden landen, so dass weniger Linien zu sehen sind. Schmaler sind die Peaks aber deshalb nicht. Wahrscheinlich liegt das daran, dass wir den Ausgangsdatensatz nicht gefiltert haben und damit effektiv einen Rechteckfilter benutzt haben, dessen Auswirkungen den erwarteten Effekt "uberlagern. Als letzten Paramter bei der idealen Abtastung haben wir die Anzahl der Datenpunkte variiert. Im wesentlichen kann man dabei feststellen, dass die Linien breiter werden, da die Aufl"osung der diskreten Fouriertransformierten sinkt und das Fenster sich immer st"arker auswirkt. Au"serdem stellt man fest, dass der Linienschwerpunkt sich verschiebt; so liegt er z.\,B. in Ausdruck~7 bei etwa 3.5 statt bei dem erwarteten Wert von 3.33. \subsubsection{FFT bei realer Abtastung} Bei der Simulation der realen Abtastung wurden die Fehlerquellen Abtastweite und Wert\-erfassung, Rauschen und Digitalisierungsrauschen untersucht. Dabei werden ab diesem Versuchsteil s"amtliche \mbox{FFTen} mit Hanning-gewichteten Eingangsdaten durchgef"uhrt. Um die Auswirkungen von Abtastweite und Werterfassung zu ermitteln, kann im Programm das Verh"altnis von Abtastweite zu Abtastperiode (AA) eingestellt und dann zwischen Mittelwert- und Maximalwerterfassung ausgew"ahlt werden. Wir betrachten jeweils eine Sinusfunktion (eine Frequenz):\\[6pt] Funktion: Sinus (eine Frequenz)\\ RA\footnote{Rauschamplitude/Maximalamplitude}: 0\\ APP: 2.3\\ DG\footnote{Bitzahl}:64\\[6 pt] Bei Mittelwerterfassung\footnote{Der Messwert wird als Mittelwert der Werte an den Grenzen des Abtastintervalls gebildet.} sind im Spektrum im wesentlichen keine "Anderungen zu sehen, dies gilt f"ur AA=0.3 ebenso wie f"ur AA=0.01. Dem APP-Wert entsprechend gibt es einen einzigen Peak bei 0.43.\\ Wechselt man unter Beibehaltung der "ubrigen Parameter zu Maximalwerterfassung\footnote{Der Messwert ist der Maximalwert der Funktion w"ahrend der Abtastdauer.}, so sind im Spektrum weitere Linien bei 10tel-Bruchteilen der Hauptfrequenz wahrnehmbar (Ausdruck~8). Dies liegt daran, dass die Differenz zwischen "`wahrem"' und gemessenen Funktionswert ebenfalls regelm"a"sig ist, da man ja regelm"a"sig an den gleichen (oder "ahnlichen) Stellen des periodischen Signals abtastet. So wird zum Beispiel bei APP=2.3 nach genau 10 Perioden wieder am gleichen Punkt abgetastet, so dass alle auftretenden Unterfrequenzen Vielfache des 10ten Teils der Signalfrequenz sind. Nat"urlich ist das nur bei einem hoch autokorrelierten Signal wie etwa einer periodischen Funktion der Fall. Zur Veranschaulichung sind in Ausdruck~8b das Originalsignal, die simulierte Maximalwerterfassung\footnote{Maximalwert hei"st hier $\underset{n=-5\dots5}{\max} \sin\omega (t+x_n)$ mit $x_n=\frac{n}{5}\frac{\text{AA}}{2\text{APP}}$.} mit AA=0.3 (rot), und die Differenz zwischen den beiden Kurven an den Abtastpunkten (blau) geplottet. Man sieht hier deutlich, dass durch die Maximalwerterfassung die niedrigeren Harmonischen (besonders deutlich bei der 0.3fachen Grundfrequenz) ins Spiel kommen und dass sich die Abtastwerte nach 10 Perioden wiederholen. Insbesondere sieht man auch, dass es einen Konstantanteil ($\nu=0$) gibt. Da dieser im Ausdruck des w"ahrend des Versuchs verwendeten Programmes nur sehr gering erscheint, wurde dort vermutlich der Betrag des Funktionswertes maximiert und nicht der Funktionswert selbst. Zur Untersuchung des Digitalisierungsauschens werden folgende Parameter gew"ahlt: \begin{tabbing} Funktion\qquad\=Sinus (eine Frequenz)\\ RA\>0\\ AA\>0.01\\ Mittelwerterfassung\\ APP\>2.3\\ DG\>4 \end{tabbing} Der Effekt ist im wesentlichen der gleiche wie bei der Maximalwerterfassung (Ausdruck~9). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass die sich periodisch wiederholenden Abweichungen hier nicht durch die Maximalwerterfassung sondern durch den Rundungsfehler in der Erfassung des Messwertes erzeugt werden. Alles weitere ist exakt genauso wie bei der Maximalwerterfassung, insbesondere gilt auch hier, dass die Auswirkungen nur f"ur ein hoch autokorreliertes Signal vergleichsweise einfach zu "uberschauen sind. Am Ende dieses Versuchsteils wird noch Rauschen konstanter spektraler Energiedichte simuliert. Im Spektrum ist dabei ein ann"ahernd konstanter Untergrund zu sehen, der den eingestellten Anteil RA von der Maximalamplitude ausmacht. Kleine Fluktuationen sind nur auf statistische Schwankungen bei endlicher Anzahl der Abtastpunkte zur"uckzuf"uhren. Dieses sogenannte wei"se Rauschen kommt in der Natur z.\,B. im thermischen Rauschen eines Widerstandes vor. \subsubsection{Reale Abtastung von Signalen aus dem Funktionsgenerator} Um zu sehen welche der zuvor simulierten Effekte in unserem Aufbau eine Rolle spielen, werden Funktionsgeneratorsignale mit verschiedenen Parametern abgetastet.\footnote{Anmerkung: Die Messung der Frequenzen durch das Computerprogramm ergab bei uns vollkommen abstruse Werte, daher sind die Daten f"ur APP und Antriebsfrequenz in den Ausdrucken falsch!}\\ Bei sinnvoller Parameterwahl \begin{tabbing} ADC-Messbereich\quad\=\kill Funktion\>Sinus\\ $\nu$\>1 kHz\\ \na\>2.3 kHz\\ Filter\>Hanning\\ Signalspannung\> ca. 2 V\\ ADC-Messbereich\> 5 V \end{tabbing} sieht das Spektrum nahezu ideal aus. Der einzige bemerkbare "`Dreckeffekt"' ist ein sehr schwaches Rauschen (Ausdruck~10). Dies "andert sich auch nicht, wenn man die Spannung (0.013 V) wesentlich kleiner macht als den Messbereich (5 Volt). Anscheinend reicht die Aufl"osung des ADC selbst dann noch, um zu verhindern, dass Digitalisierungsrauschen entsteht (Ausdruck~10).\\Bei der Untersuchung der nicht bandbreitenbegrenzten Rechteckfunktion ($\na=18.5\unit{kHz}$, $\nu=1\unit{kHz}$) wird wieder der oben erl"auterte Aliasing-Effekt sichtbar (Ausdruck~11). Danach haben wir noch einige Parameter variiert, aber keine "uberraschenden Effekte mehr gesehen. \\Zusammenfassend k"onnen wir also sagen, dass bei unserer Apparatur kaum Fehler durch Messwerterfassung oder Analog-Digital-Wandlung zu erwarten sind und sich auch das Rauschen nur sehr schwach auswirkt. Es ist jedoch n"otig, eine gen"ugend hohe Abtastfrequenz und eine geeignete Fensterfunktion zu w"ahlen. \begin{figure}[hbtp] \begin{center} \includegraphics{oszi} \end{center} \caption{Oszillogramme des Nichtlinearen Schwingkreises}\label{oszi} \end{figure} \subsection{Nichtlinearer Oszillator} Nachdem die Eigenschaften des Auswertungsalgorithmus und der Apparatur bekannt sind, kann das reale System Nichtlinearer Oszillator untersucht werden. Als Abtastfrequenz benutzten wir $\na=49\unit{kHz}$. Als Frequenz, bei der die meisten Bifurkationen beobachtet werden k"onnen, ermittelten wir $\no=17.51\unit{kHz}$. Bei dieser Frequenz wurde nun die Amplitude bei etwa 0.5~V beginnend stufenlos erh"oht. Die Ver"anderungung des Oszillogramms und damit des Schwingkreisstromes in Abh"angigkeit von der antreibenden Amplitude ist in \ref{oszi} dargestellt. Die 3. Bifurkation ist nicht mehr dargestellt, bei ihr spalten sich die Linien lediglich ein weiters Mal auf.\\\\ Die Bifurkationen wurden bei folgenden Spannungen gemessen: \begin{tabbing} 1. Bifurkation\qquad\quad\=0.75 V\\ 2. Bifurkation\>2.75 V \\ 3. Bifurkation\>3.35 V \\ Chaos \>3.55 V \\ inverse Bifurkationen\dots \\ periodisches Fenster\>6.6 V \\ Bifurkation \>7.2 V\\ (s. Bifurkationsskizze) \end{tabbing} Zwischen diesen Werten wurde das Spektrum des Oszillators aufgenommen. Vor der ersten Bifurkation besteht es aus einer Linie bei 17.5~kHz und einer wesentlich schw"acheren Linie bei etwa 14~kHz, die auch in den folgenden Spektren auftaucht (Ausdruck~A; 0.6~V). Der Oszillator folgt also der anregenden Wechselspannung und seine Amplitude ist zus"atzlich mit etwa 14~kHz moduliert. Diese 14~kHz kann man als Linie der doppelten Grundfrequenz ($\lvert2\cdot\no-\na\rvert=14\unit{kHz}$) identifizieren, die vermutlich durch einen nicht ganz sauberen Sinus des Funktionsgenerators zustande kommt. Die Spektren nach den Bifurkationen mit der typischen Periodenverdopplung k"onnen ebenfalls weitgehend aufgekl"art werden, die Ergebnisse sind auf den \mbox{Ausdrucken B-D} und in Tabelle~\ref{spektra} dargestellt. \begin{table}[hbtp]\begin{center} \begin{tabular}{|r|c|l|lr|} \hline Frequenz &erstes &Interpretation &\multicolumn{2}{|c|}{relative Intensit"at}\\[4pt] in kHz &Auftreten & &C (abs.) &D (dB)\\[4pt] \hline 17.5 &A &\no &1.00$^2$ &0.0 \\[4pt] 14.0 &A &$|2\,\no-\na|$ &0.06$^2$ &-27.9 \\[4pt] \hline 8.8 &B &$\smash{\frac{1}{2}}\no$ &0.63$^2$ &-4.8 \\[4pt] 22.8 &B &$|\smash{\frac{3}{2}}\no-\na|$ &0.11$^2$ &-19.8 \\[4pt] 5.3 &B &$|\smash{\frac{5}{2}}\no-\na|$ &0.02$^2$ &-36.8 \\[4pt] \hline 4.4 &C &$\smash{\frac{1}{4}}\no$ &0.28$^2$ &-11.5 \\[4pt] 13.1 &C &$\smash{\frac{3}{4}}\no$ &0.11$^2$ &-20.9 \\[4pt] 21.8 &C &$\smash{\frac{5}{4}}\no$ &0.06$^2$ &-23.8 \\[4pt] 18.4 &C &$|\smash{\frac{7}{4}}\no-\na|$ &0.04$^2$ &-30.4 \\[4pt] 9.6 &C &$|\smash{\frac{9}{4}}\no-\na|$ &0.02$^2$ &-34.8 \\[4pt] 0.87 &D &$|\smash{\frac{11}{4}}\no-\na|$ & &-48.0 \\[4pt] \hline 2.2 &D &$\smash{\frac{1}{8}}\no$ & &-35.8 \\[4pt] 6.6 &D &$\smash{\frac{3}{8}}\no$ & &-32.0 \\[4pt] 10.9 &D &$\smash{\frac{5}{8}}\no$ & &-36.0 \\[4pt] 15.3 &D &$\smash{\frac{7}{8}}\no$ & &-48.9 \\[4pt] 19.7 &D &$\smash{\frac{9}{8}}\no$ & &-43.0 \\[4pt] \hline 20.6 &D &$|\smash{\frac{13}{8}}\no-\na|$?& &-47.1 \\[4pt] 21.1 &D &$4\,\no-\na$? & &-48.9 \\[4pt] \hline \multicolumn{5}{|c|}{A: 0.6 V\quad B: 2.3 V\quad C :3.1 V\quad D: 3.45 V}\\ \hline \end{tabular}\end{center}\caption{Spektrum des Nichtlinearen Oszillators}\label{spektra}\end{table} Bei 3.55~V geht das System ins Chaos "uber: das Leistungsspektrum ist nicht mehr diskret (Ausdruck~E; 3.7~V). Dann erfolgen inverse Bifurkationen, bis bei 4.5~V haupts"achlich wieder nur die anregende Frequenz zu sehen ist (Ausdruck~F). In dem sich anschlie"senden periodischen Fenster sind wieder diskrete Linien bei 17.5~kHz (\no), 5.9~kHz ($\frac{1}{3}\no$), 11.7~kHz ($\frac{2}{3}\no$), 23.4~kHz ($\frac{4}{3}\no$), 19.8~kHz, 13.9~kHz, 8.2~kHz, 2.3~kHz (in der Reihenfolge fallender Intensit"at) und sehr schwach bei einigen anderen Frequenzen zu beobachten (Ausdruck~G; 6~V). Es handelt sich hier also offensichtlich um ein periodisches Fenster mit Grundperiode $\no/3$. Bevor der apparaturbedingte Maximalwert der anregenden Spannung erreicht wurde, konnte noch die erste Bifurkation in diesem Fenster beobachtet werden.\\Die Messergebnisse zeigen also qualitativ die typischen Kennzeichen eines nichtlinearen Systems: \begin{itemize} \item{die Bifurkationskaskade im periodischen Bereich mit sukzessiver Periodenverdopplung (Auftreten von Subharmonischen mit Frequenzen $m\frac{\no}{2^n}$)} \item{den "Ubergang zu chaotischem Verhalten (nichtdiskretes Spektrum) und inverse Bifurkationen mit zunehmenden Abst"anden} \item{ein periodisches Fenster mit anderer Grundfrequenz $\no/3$} \end{itemize} Quantitativ liefern die Messungen dagegen keine wirklich brauchbaren Ergebnisse, da die f"ur die quantitativen Analysen erforderliche Bedingung hoher Bifurkationsordnungen nicht erreicht werden kann. Gleichung~\eqref{delta} ist daher nicht erf"ullt: Nimmt man einen Fehler beim Ablesen der Bifurkationsspannungen von 0.05~V an, ergibt sich f"ur den nach dieser Gleichung konstanten Wert $x=(a_{\infty}/a_n)^n$ \begin{tabbing} 2.59\quad\=$\pm$0.32\qquad\=(n=1)\\ 4.84 \>$\pm$0.04 \>(n=2)\\ 1.76 \>$\pm$0.02 \>(n=3) \end{tabbing} Die Feigenbaumkonstante $\delta$ aus diesen Werten berechnen zu wollen, ist also ein hoffnungsloses Unterfangen. Dementsprechend verwundert es nicht, wenn sich $\delta_1$ aus der Gleichung \begin{equation} \delta_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n+2-a_{n+1}}\label{deltan} \end{equation} zu $3.33\pm0.46$ ergibt und bei weitem nicht mit der tats"achlichen Feigenbaumkonstante $\delta=4.66\dots$ "ubereinstimmt, obwohl $\delta_n$ f"ur gro"se $n$ gegen $\delta$ geht. Auch die Bestimmung der Feigenbaumkonstante $\alpha$ gelingt aufgrund der niedrigen Bifurkationsordnungen nicht. So ergibt sich f"ur die Intensit"aten der Hauptlinien nach der dritten Bifurkation $I_{\no}:I_{\no/2}:I_{\no/4}:I_{\no/8}$ \begin{equation*}0\unit{dB}: -4.8\unit{dB}:-11.5\unit{dB}:-35.8\unit{dB}\end{equation*} und f"ur die gemittleten Intensit"aten der entsprechenden Subharmonischen mit $\nu<\no$ \begin{equation*}0\unit{dB}: -4.8\unit{dB}:-12.9\unit{dB}:-33.3\unit{dB}\end{equation*} Man erwartet aber gem"a"s Gl.~\eqref{alpha} und $\alpha=2.50\dots$, dass diese Werte sich konstant um etwa 8.2~dB unterscheiden, was hier offensichtlich nur f"ur die Linien nach erster und zweiter Bifurkation gegeben ist. Die Werte der Feigenbaumkonstanten $\alpha$ die sich aus diesen Verh"altnissen berechnen sind \begin{tabbing} 1.33\qquad\=(n=0)\\ 2.46\>(n=1)\\ 38.8\>(n=2)\\ \end{tabbing} Angsichts dieser Diskrepanzen er"ubrigt sich wohl die Angabe eines Fehlers. \subsection{Simulation des Toda-Oszillators} Die Simulation des Toda-Oszillators ergibt qualitativ "ahnliche Ergebnisse wie unser nichtlinearer Oszillator. Aufgrund der verschiedenen Oszillatorparamter kann quantitativ nicht direkt verglichen werden.\\ Die Bifurkationen liegen hier bei 1.7~V, 1.88~V, 1.89~V und 1.90~V, das chaotische Gebiet beginnt bei 2.0~V.\\Bei 0.6~V sieht man einen scharfen Peak bei der antreibenden Frequenz; den Peak zur doppelten Grundfrequenz (Ausdruck~A) sieht man hier nicht (Ausdruck~T1). Trivialerweise sieht man auch kein Rauschen. Bei 1.7~V (Ausdruck~T2) erscheint der Peak zur Frequenz \no/2, er ist im Vergleich zu Ausdruck~B deutlich kleiner, au"serdem sind hier nicht die Linien zu den ungeraden Vielfachen von \no/2 zu sehen. Bei 1.8~V erkennt man in Ausdruck~T3 zus"atzlich die Linien von $m\cdot\no/4$ mit $m\leq5$, wobei die Intensit"aten sich ebenfalls wieder sehr anders verhalten als in unserer Messung und Linien f"ur h"ohere $m$, die wir messen konnten, nicht auftreten. Das gleiche Bild bietet sich nach der n"achsten Bifurkation (Ausdruck T4; 1.89V). Wie die gemessenen Linienh"ohen nach der 4. Bifurkation ergeben, kann auch aus dieser Simulation $\alpha$ nicht bestimmt werden, da das Verh"altnis der Peakh"ohen stark schwankt (Ausdruck T5; 1.9~V). Der "Ubergang ins Chaos sieht beim Modell sehr anders aus, als bei uns. Schon bei Anregungsspannungen geringf"ugig "uber $a_{\infty}$ ist im Chaos als diskrete Linie nur noch die antreibende Frequenz auszumachen (Ausdruck~T6; 2~V), w"ahrend im realen Schwingkreis zun"achst noch viele Linien zu sehen sind, deren Zahl dann im Verlauf inverser Bifurkation mit zunehmenden Abst"anden geringer wird. \section{Zusammenfassung der Ergebnisse} Die wesentlichen Charakteristika von Schneller Fouriertransformation (Abh"angigkeit von Abtastrate, Filter, Anzahl der Datenpunkte) und realer Abtastung mit einem ADC (Auswirkungen endlicher Abtastzeit, Digitalisierungsrauschen) konnten anhand der Computersimulation untersucht werden. Die reale Messung beeinflussten dann haupts"achlich Aliasing bei Frequenzen gr"o"ser als die halbe Abtastfrequenz und ein geringer Rauschpegel. Der Einfluss der anderen zuvor studierten Fehlerquellen konnte durch die Wahl geeigneter Parameter minimiert werden. Beim nichtlinearen Serienschwingkreis konnten wesentliche Eigenschaften einfacher nichtlinearer Systeme (Bifurkationskaskade mit Periodenverdopplung, "Ubergang zum Chaos, inverse Bifurkation, periodische Fenster) beobachtet werden. Die Feigenbaumkonstanten $\alpha$ und $\delta$ konnten jedoch aus der Messung nicht pr"azise bestimmt werden, da die dazu erforderlichen hohen Bifurkationsordnungen nicht erreicht werden konnten.\\ Im Vergleich mit der Toda-Simulation ergab sich, dass das Toda-Modell die grundlegenden Ph"anomene des Serienschwingkreises qualitativ richtig beschreibt, mit der Ausnahme, dass von uns gemessene Frequenzen $m\,\frac{\no}{2^n}$ f"ur gr"o"sere $m$ vom Modell nicht erfasst werden. Eventuell sind diese Linien jedoch durch Oberfrequenzen $m\no$ des Sinusgenerators verursacht, so dass hierzu keine eindeutige Aussage getroffen werden kann. Die schrittweise inverse Bifurkation im untersuchten Serienschwingkreis konnte in der Toda-Simulation ebenfalls nicht reproduziert werden. \bibliography{e} \bibliographystyle{gerplain} \end{document}