\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article} \usepackage{a4,ngerman,amsmath,amssymb, bibgerm, graphics, times} \numberwithin{equation}{section} \newcommand{\zo}{\ensuremath{Z^{0}}} \newcommand{\pl}[1]{\ensuremath{{#1}^+}} \newcommand{\mi}[1]{\ensuremath{{#1}^-}} \newcommand{\plmi}[1]{\ensuremath{{#1}^\pm}} \newcommand{\epem}{\pl{e}\mi{e}} \newcommand{\mpmm}{\pl{\mu}\mi{\mu}} \newcommand{\tptm}{\pl{\tau}\mi{\tau}} \newcommand{\qpqm}{\pl{q}\mi{q}} \newcommand{\ip}[2]{\ensuremath{<\vec{#1},\vec{#2}>}} \newcommand{\mz}{\ensuremath{M_Z}} \newcommand{\unit}[1]{\text{ #1}} \newcommand{\thead}[1]{\small{\bf{#1}}} \newcommand{\ee}[1]{\cdot10^{#1}} \newcommand{\numu}{\ensuremath{\nu_{\mu}}} \newcommand{\numua}{\ensuremath{\overline{\nu_{\mu}}}} \newcommand{\nue}{\ensuremath{\nu_e}} \newcommand{\nuea}{\ensuremath{\overline{\nu_e}}} \newcommand{\nut}{\ensuremath{\nu_{\tau}}} \newcommand{\nuta}{\ensuremath{\overline{\nu_{\tau}}}} \author{Michael Nirschl, Moritz Ringler} \title{Protokoll zum FP-Versuch E213\\Analyse von \zo-Zerf"allen} \date{29.03., 30.03. und 07.04.2000} \begin{document} \unitlength=1mm \maketitle\tableofcontents \newpage \section{Thema} Der Versuch "`Analyse von \zo-Zerf"allen"' behandelt die Auswertung von Daten eines modernen Gro"sexperiments der Teilchenphysik am Beispiel von Daten aus der \epem-Streuung bei Energien um die Ruhemasse des \zo, gemessen mit dem OPAL-Detektor (Omni Purpose Apparatus for LEP) am Large Electron Positron Collider des CERN.\\ Der Versuch setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Im ersten Teil werden anhand von simulierten Daten die Signaturen der Zerfallskan"ale des \zo ermittelt, hierf"ur wird das Computerprogramm GROPE benutzt. Im zweiten Teil benutzt man das Programm PAW, um die Kriterien aus dem ersten Teil anhand eines gr"o"seren (simulierten) Datensatzes zu verfeinern. Anschlie"send werden mithilfe der festgelegten Kriterien tats"achlich gemessene Ereignisse den verschiedenen Zerfallskan"alen zugeordnet. Aus den Ergebnissen werden dann einerseits Masse und Breite der \zo-Resonanz und andererseits der Weinbergwinkel errechnet. \section{Theorie} Wir werden in diesem "`Theorieteil"' nur kurz den untersuchten Proze"s skizzieren, da bereits die Liste der verwendeten Konstanten, Gr"o"sen und Formeln mehr als eine Seite in Anspruch nimmt, und eine angemessene Beschreibung des theoretischen Hintergrundes den Rahmen eines Protokolls bei weitem sprengen w"urde. In diesem Versuch untersuchen wir Ereignisse, die bei Elektron-Positron-Kollisionen im OPAL-Detektor am CERN in Genf aufgenommen wurden. Nach dem Standard-Modell kann dabei Verschiedenes passieren. Nachdem das Positron und das Elektron sich annihiliert haben, kann neben einem $\gamma$ ein \zo entstehen, das wiederum in ein Fermion und sein Antiteilchen zerf"allt. F"ur die verschiedenen M"oglichkeiten der fermionischen Produkte ($e$, $\mu$, $\tau$, Quarks) ermitteln wir die Energieabh"angigkeit des Wirkungsquerschnittes. Dieser besitzt n"amlich eine Resonanz bei der Masse des \zo-Bosons. Durch deren Vermessung k"onnen wir die Masse des \zo-Bosons als Schwerpunkt des Resonanzmaximums bestimmen und aus der Breite der Kurve die Zerfallsk"anale f"ur das \zo-Boson. Jeder Zerfallskanal tr"agt n"amlich zu dieser Breite bei. Da man aber glaubt, alle Kan"ale bis auf den Neutrinokanal genau zu kennen, kann man aus dem restlichen Betrag die Anzahl der leichten Neutrinogenerationen absch"atzen. Jede Neutrinogeneration tr"agt den gleichen Wert bei, so da"s man ganz einfach eine Absch"atzung f"ur die Generationenzahl erh"alt. Weiterhin k"onnen wir aus der Winkel-Asymmetrie zwischen Endteilchen in der Vorw"arts- und der R"uckw"artshemisph"are beim Proze"s $e^+e^-\rightarrow \mu^+\mu^-$ bei der \zo-Resonanzenergie den Weinbergwinkel zumindest absch"atzen, der die Mischung der elektromagnetischen und der schwachen Wechselwirkungen in der Vereinigung zur elektroschwachen Theorie beschreibt. \newline \newline Im folgenden listen wir alle verwendeten Konstanten und Gr"o"sen auf: \begin{itemize} \item \zo -Masse $M_Z=91,182GeV$ \item $E_{CMS}$ Energie im Schwerpunktssystem \item $s=E_{CMS}^2$ \item $\Gamma_x$ Beitrag des Teilchens x zur Breite der \zo-Resonanz \item $\delta$ Wirkungsquerschnittbeitrag aus Strahlungskorrekturen \item $N_{\nu}$ Anzahl der leichten Neutrinogenerationen \item $I_3^f$ schwacher Isospin des Fermions f \item $Q_f$ elektrische Ladung des Fermions f \item Weinberg-Winkel $\theta_W$ mit $\sin^2\theta_W=0,2312$ \item Farbfaktor $N_c^f=1$ f"ur Leptonen, bzw. $3$ f"ur Quarks \item Fermikonstante $G_F=1,663\cdot 10^{-5}GeV^{-2}$ \end{itemize} Nun noch die zur Auswertung verwendeten Formeln: \begin{itemize} \item Kopplungskonstante der schwachen Vektorkopplung $g_V^f=I_3^f-2Q_f\sin^2\theta_W$ \item Kopplungskonstante der schwachen Axialvektorkopplung $g_A^f=I_3^f$ \item Vektorkopplung an den schwachen Strom $v_f=\frac{g_V^f}{2\sin\theta_W\cos\theta_W}$ \item Axialvektorkopplung an den schwachen Strom $v_f=\frac{g_A^f}{2\sin\theta_W\cos\theta_W}$ \item Propagatorterm $\chi=\frac{s}{(s-M_Z^2)+is\frac{\Gamma_Z}{M_Z}}$ \item Wirkungsquerschnitt f"ur einen Zerfall $e^+e^-\rightarrow f\overline{f}$ $$ \sigma(s)=\frac{12\pi}{M_Z^2}\frac{s\Gamma_e\Gamma_f}{(s-M_z^2)^2+s^2\frac{\Gamma_Z^2}{M_Z^2}}$$ \item Wirkungsquerschnitt f"ur einen Zerfall $e^+e^-\rightarrow f\overline{f}$ im Peak der \zo-Resonanz $$\sigma=\frac{12\pi}{M_Z^2}\frac{\Gamma_e}{\Gamma_Z}\frac{\Gamma_f}{\Gamma_Z}(1+\delta)$$ \item Breite der \zo-Resonanz im f-Kanal $$\Gamma_f=\frac{N_c^f\sqrt{2}}{12\pi}G_FM_Z^3((g_V^f)^2+(g_A^f)^2)$$ \item Breite der \zo-Resonanz $\Gamma_Z=N_{\nu}\Gamma_{\nu}+3\Gamma_e+\Gamma_{hadronisch}$ \item differentieller Wirkungsquerschnitt im f-Kanal $$\frac{d\sigma_f}{d\Omega}=\frac{\alpha^2N_c^f}{4s}\left(F_1(s)(1+\cos^2\theta)+2F_2(s)\cos\theta\right)$$ mit $$F_1(s)=Q_f^2-2v_ev_fQ_fRe\chi(s)+(v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2)|\chi(s)|^2$$ $$F_2(s)=-2a_ea_fQ_fRe\chi(s)+4v_ea_ev_fa_f|\chi(s)|^2$$ \item Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie $A^f_{FB}=\frac{\int_0^1\frac{d\sigma}{d\cos\theta}d\cos\theta-\int_{-1}^0\frac{d\sigma}{d\cos\theta}d\cos\theta}{\int_{-1}^1\frac{d\sigma}{d\cos\theta}d\cos\theta}$ \item $A_{FB}^f$ f"ur Leptonen im Peak der \zo-Resonanz $A_{FB}^f=3\left(\frac{v_l}{a_l}\right)^2$ mit $\frac{v_l}{a_l}=1-4\sin^2\theta_W$ \item Abh"angigkeit des differentiellen Wirkungsquerschnitts vom Austrittswinkel der produzierten Teilchen im Streukanal (t-Kanal) $$\frac{d\sigma}{d\Omega}\sim (1+\cos\theta)^{-1}$$ \item Luminosit"at $L=\frac{dn}{dt}/\sigma$ \end{itemize} \section{Versuchsteil I\\Analyse von Ereignissen am Bildschirm} Im ersten Versuchsteil werden simulierte Ereignisse im Programm GROPE (Graphics Reconstruction of OPAL Events) betrachtet. Daraus werden Kriterien zur Zuordnung eines Ereignisses zu einem der Zerfallskan"ale der \zo-Resonanz entwickelt. \subsection{Beschreibung} Das Programm GROPE erlaubt es, ein Ereignis in verschiedenen Projektionen darzustellen. Zun"achst sind dies einmal die Ansichten senkrecht zur Strahlachse des \mi{e}- bzw. \pl{e}-Strahls sowie in der Ebene, die durch Strahl und Vertikale definiert wird. Zus"atzlich kann das Ereignis in der Thrust-Ebene\footnote{Die Thrustachse ist definiert als mittlere Impulsachse, die in der Richtung des Einheitsvektors $\vec{n}$ verl"auft, der den Wert \begin{equation}\frac{\sum_i|\ip{p_i}{n}|}{\sum\limits_i|\vec{p_i}|}\end{equation} maximiert. Der maximierte Wert wird als Thrust bezeichnet. Mit $\vec{p_i}$ sind die Impulse der beteiligten (geladenen) Teilchen benannt.} und senkrecht zu dieser betrachtet werden.\\ In diesen Ansichten werden die Antworten der Einzel-Detektoren des OPAL entsprechend ihrer realen Anordnung im Detektor graphisch dargestellt. Von innen nach au"sen sind das $\mu$-Vertex-Detektor, Vertex-Detektor, Jetkammer (24 Sektoren), Z-Kammer (eine pro Jetkammer-Sektor), elektromagnetisches Kalorimeter (Ecal, 9440 Einzeldetektoren), TOF, Presampler, hadronisches Kalorimeter (Hcal) und Myonkammern sowie die Vorw"artsdetektoren innerhalb der Endkappen des Ecal. Die Antworten der einzelnen Detektoren werden farblich unterschiedlich codiert und auf charakteristische Weise in das Bild des Detektors eingezeichnet (Tabelle~\ref{grope}). \begin{table}[htbp] \begin{center} {\small \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline \thead{Detektor} &\thead{Teilchen} &\thead{Darstellung} \\[2pt] \hline Vertexdetektor, &geladene (Ionisation) &Spur \\ Jet- und Z-Kammer&&\\[6pt] TOF &geladene (Ionisation) &Rechteck am Durchgangspunkt \\[6pt] Ecal &elektromagnetische Schauer &Viereck \\ &(Bremsstrahlung und Paarbildung) &(L"ange $\propto$ deponierter Energie)\\[6pt] Hcal &hadronische Schauer &Viereck \\ &(Zerf"alle und Kernreaktionen) &(L"ange $\propto$ deponierter Energie)\\[6pt] Myonkammern &geladene & Pfeil \\ & &Richtung \^{=} Richtung des $\mu$ \\ \hline \end{tabular} } \end{center} \caption{Darstellung der Detektorantworten in GROPE}\label{grope} \end{table} Zus"atzlich werden im Kopf des GROPE-Fensters noch einige numerische Daten ausgegeben. N"amlich \begin{tabbing} Ctrk.N\qquad\qquad\=Anzahl geladener Spuren\\ Ctrk.Sump\>$\sum_i|\vec{p_i}|$ der geladenen Teilchen\\ Ecal.N\>Anzahl der beteiligten Ecal-Detektoren\\ Ecal.SumE\>insgesamt im Ecal deponierte Energie\\ Hcal.N\>Anzahl der beteiligten Hcal-Detektoren\\ Hcal.SumE\>insgesamt im Hcal deponierte Energie\\ Muon.N\>Zahl der $\mu$-Spuren \end{tabbing} Mit Hilfe von vier Datens"atzen, in denen jeweils nur Ereignisse eines Zerfallskanals simuliert sind, werden zuerst die charakteristischen Signaturen der einzelnen Zerfallskan"ale studiert. Mit den numerischen Daten werden Histogramme der einzelnen Messgr"o"sen Ctrk.n, Ctrk.Sump, Ecal.SumE und Hcal.SumE f"ur die einzelnen Zerfallskan"ale des \zo erstellt und mit diesen vorl"aufige Schnittkriterien entwickelt. Dann werden mithilfe dieser Signaturen Ereignisse eines gemischten Testdatensatzes (test3) identifiziert. \subsection{Ergebnisse} Die verschiedenen Ereignistypen zeigen folgende Signaturen. \subsubsection{Signatur des Zerfallskanals \/\epem} Zwei diametrale kaum gekr"ummte Spuren beginnen im Vertex und enden in gegen"uberliegenden Ecal-Detektoren. Dort wird ein elektromagnetsicher Schauer ausgel"ost und praktisch die gesamte CMS-Energie\footnote{Energie im Schwerpunktssystem (\underline{C}enter of \underline{M}ass \underline{S}ystem)} (ca. 90 GeV) deponiert, die Summe des geladenen Impulses entspricht zumeist ebenfalls 90 GeV/c~\footnote{Im folgenden werden, falls keine explizite Angabe erfolgt, die folgenden Einheiten benutzt: pcharged in GeV/c, e\_ecal und e\_hcal in GeV.}. Im Hcal wird keine Energie deponiert, und die Myonkammern registrieren keine entweichenden Teilchen. Bei einigen Ereignissen treten geringere Gesamtenergien aufgrund von Strahlungsverlusten vor der Kollision (initial state radiation, zum Teil in den Vorw"artsdetektoren nachgewiesen) auf, bei einigen ist ein leichter Knick in einer der Spuren zu sehen verbunden mit einem breiteren Schauer im Ecal. Dieses Ph"anomen kann durch die Emission eines Photons nach der Kollision (final state radiation) erkl"art werden.\\ \begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|ll|cccccc|} \hline \thead{run} &\thead{event} &\thead{ncharged} &\thead{pcharged} &\thead{ecal.n} &\thead{e\_ecal} &\thead{hcal.n} &\thead{e\_hcal}\\ \hline 2566 &163733 & 2 & 50,9 & 7 & 82,6 & 0 & 0 \\ 2566 &165523 & 2 & 91,9 & 4 & 90,0 & 0 & 0 \\ 2566 &165548 & 3 & 82,5 & 7 & 92,3 & 1 & 0 \\ 2566 &165576 & 2 & 80,9 & 13 & 86,8 & 0 & 0 \\ 2566 &166436 & 2 & 38,1 & 6 & 89,5 & 0 & 0 \\ 2566 &167987 & 2 & 83,8 & 5 & 87,5 & 0 & 0 \\ 2566 &168389 & 2 & 87,4 & 7 & 93,2 & 0 & 0 \\ 2566 &170045 & 2 & 69,3 & 5 & 90,7 & 1 & 0 \\ 2566 &170379 & 2 & 86,1 & 8 & 89,4 & 2 & 0,5 \\ 2566 &197594 & 2 & 90,3 & 7 & 90,6 & 0 & 0 \\ 2566 &197889 & 2 & 92,1 & 7 & 88,5 & 1 & 0,5 \\ 2570 &28178 & 3 & 81,7 & 5 & 91,6 & 0 & 0 \\ 2570 &28490 & 2 & 89,6 & 3 & 92,5 & 0 & 0 \\ 2570 &28743 & 2 & 61,1 & 5 & 89,2 & 0 & 0 \\ 2570 &28777 & 3 & 88,4 & 7 & 89,1 & 0 & 0 \\ 2570 &88224 & 2 & 90,9 & 3 & 90,5 & 1 & 0,3 \\ 2570 &90660 & 2 & 64,6 & 9 & 88,8 & 0 & 0 \\ 2570 &91274 & 2 & 95,6 & 7 & 96,2 & 0 & 0 \\ 2571 &418921 & 2 & 93,0 & 5 & 90,8 & 0 & 0 \\ 2571 &420590 & 2 & 94,1 & 7 & 89,2 & 0 & 0 \\ \hline \multicolumn{8}{c}{\vspace{1.5cm}}\\ \end{tabular*} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|ll|p{0.7\textwidth}|} \hline \thead{run}&\thead{event}&\thead{Bemerkung}\\ \hline 2566 &163733 & leicht geknickt (FSR $\Rightarrow$ $pcharged<\mz\cdot c$), Teilchen gehen durch Detektorecke ($\Rightarrow$ $e\_ecal<\mz\cdot c^2$)\\ 2566 &165523 &\\ 2566 &165548 &FSR\\ 2566 &165576 &viele kleinere Ecal-Eintr"age in Ecke\\ 2566 &166436 &Strahlungsverluste (FSR)\\ 2566 &167987 &\\ 2566 &168389 &viele nicht zuzuordnende Eintr"age (Untergrund, ISR?)\\ 2566 &170045 &Photon im Vorw"artsdetektor (ISR)\\ 2566 &170379 &Teilchen aus elektromagnetischem Schauer erreichen das Hcal\\ 2566 &197594 &\\ 2566 &197889 &Teilchen aus elektromagnetischem Schauer erreichen das Hcal\\ 2570 &28178 &3 geladene Spuren vom Vertex, zwei sehr eng benachbart, vermutlich Detektorartefakt\\ 2570 &28490 &\\ 2570 &28743 &ISR\\ 2570 &28777 &3. Spur: Helix-Bahn im Spurdetektor (Teilchen unbekannter Herkunft mit geringem Impuls in z-Richtung)\\ 2570 &88224 &\\ 2570 &90660 &Verluste durch ISR, daher auch viele Teilchen geringer Energie im Ecal\\ 2570 &91274 &\\ 2571 &418921 &Eintrag im Vorw"artsdetektor nahe am Strahlrohr (ISR)\\ 2571 &420590 &\\ \hline \end{tabular*} \end{center} \caption{Ereignisse des electrons-Datensatzes untersucht mit GROPE}\label{epem} \end{table} Die Ereignisse des Testdatensatzes \epem sind in Tabelle~\ref{epem} zusammengefasst. Aus den nach dieser Tabelle erstellten Histogrammen H1 werden vorl" aufige Kriterien f"ur die vier Schnittgr"o"sen ncharged (Ctrk.N), pcharged (Ctrk.Sump), e\_ecal (Ecal.SumE) und e\_hcal (Hcal.SumE) entwickelt. Dazu werden auch die Histogramme der anderen Zerfallskan"ale hinzugezogen, da der Schnitt sowohl m"oglichst spezifisch als auch m"oglichst sensitiv sein soll, d. h. es sollen m"oglichst alle Nicht-\epem-Ereignisse ausgeschlossen und alle \epem-Ereignisse zugelassen werden. Es ergeben sich folgende vorl"aufige Schnittkriterien: \begin{tabbing} ncharged\qquad \=$<$ 4 \\ pcharged \>$>$ 35 \\ e\_ecal \>$>$ 75 \\ e\_hcal \>$<$ 1 \end{tabbing} Der Reaktion $\epem \rightarrow \epem$ wurden -- haupts"achlich anhand des Bildes des Ereignisses im Detektor, zum Teil auch mit Hilfe der zuvor festgelegten Schnittkriterien -- die folgenden Ereignisse des Testdatensatzes zugeordnet: \begin{tabbing} Run:Event\qquad\=Abbildung\quad\=Bemerkung\\ 4353:10900\>GROPE 7\\ 4353:11844\>GROPE 9\\ 4353:19909\>GROPE 13\>Schauer reicht bis ins Hcal\\ 4353:28960\>GROPE 18\\ 4353:31999\>GROPE 19\\ \end{tabbing} Die Daten der Ereignisse des test3-Datensatzes werden den Histogrammen hinzugef"ugt (H2), um die Schnittkriterien noch einmal zu "uberpr"ufen. F"ur die Elektronen bleiben diese an dieser Stelle jedoch unge"andert. \subsubsection{Signatur des Zerfallskanals \/\mpmm} Myonen hinterlassen exakt zwei kollineare Spuren aus dem Vertex im Spurdetektor. Sie deponieren nur sehr wenig Energie im Ecal und im Hcal, werden in den Myonkammern registriert und verlassen den Detektor. Myonen l"osen keinen elektromagnetischen Schauer im Ecal aus, da das $\mu$ mit 105,66 MeV \cite[S. 430]{Perkins::1990} in etwa die 200fache Masse des Elektrons hat und damit die etwa $m^{-2}$-proportionale Wahrscheinlichkeit f"ur Bremsstrahlung um den Faktor 40000 geringer ist. Der Energieverlust der Myonen in den Kalorimetern wird daher in erster Linie durch Ionisation bestimmt und bleibt dementsprechend gering. Die "uberschl"agige Berechnung mit Hilfe der Bethe-Bloch-Formel\footnote{ \begin{equation}-\frac{dE}{dx}=0,1535 \unit{MeV}\unit{cm}^2\cdot\rho\frac{Z}{A}\beta^{-2}\left(\ln\left(2m_e c^2\gamma^2 \beta^2/I\right)-2\beta^2-\delta-2C/Z\right)\end{equation} "Uberschl"agig gilt: \begin{align*}\rho&\approx3\unit{g}/\text{cm}^3\\ \intertext{f"ur Bleiglas (http://www.hilgenberg-gmbh.de/html/glaseigenschaften.html)} Z&\approx 20\qquad\qquad\qquad\text{(Pb: 84, Si: 14, O: 8)}\\ I&\approx Z 10^{-5}\unit{MeV}\\ &\approx 2\ee{-4}\unit{MeV}\\ \beta^2&= \frac{p^2}{m_{\mu}^2c^2+p^2}\\ &\approx \left(\left(\frac{m_{\mu}c^2}{E}\right)^2+1\right)^{-1}\\ &\approx 1-5,5\ee{-6}\\ &\approx 1\\ \gamma^2&= \left(1-\beta^2\right)^{-1}\\ &\approx 1,81\ee{5} \end{align*}} ergibt ein $dE/dx$ von etwa 4,3 MeV/cm, so dass der Energieverlust im elektromagnetischen Kalorimeter in jedem Fall in der Gr"o"senordnung von einem GeV oder darunter bleibt. F"ur das Hcal gilt eine "ahnliche Betrachtung. Das Myon lebt zu lange ($2,19703\pm0,00004~\mu\text{s}$, \cite{Caso:2000}), als dass es im Detektor zerfallen w"urde. Schon ohne relativistische Effekte w"urde die mittlere Reichweite eines Myons also etwa 659~m betragen, ber"ucksichtigt man zus"atzlich noch den Gammafaktor (L"angenkontraktion), so wird klar, dass praktisch kein Myon im Detektor zerfallen wird.\\ Die numerischen Daten aus den \mpmm-Ereignissen sind in Tabelle~\ref{mpmm} zusammengefasst. Sie sind in den Histogrammen H3 graphisch dargestellt. \begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|l|ccccccc|} \hline \thead{run:event}&\thead{ncharged}&\thead{pcharged}&\thead{ecal.n}&\thead{e\_ecal}&\thead{hcal.n}&\thead{e\_hcal}&\thead{muons.n}\\ \hline 2568:80617 & 2 & 90,1 & 3 & 1,6 & 4 & 7 & 2 \\ 2568:84297 & 2 & 93 & 4 & 1,6 & 5 & 8,7 & 2 \\ 2568:85398 & 2 & 96,8 & 5 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 2568:87693 & 2 & 89,1 & 5 & 2,3 & 4 & 8,5 & 2 \\ 2568:88929 & 2 & 90,5 & 3 & 1,5 & 5 & 7,2 & 2 \\ 2568:91048 & 2 & 91,8 & 4 & 1,8 & 6 & 4,3 & 2 \\ 2568:92681 & 2 & 86,3 & 6 & 3,7 & 5 & 3,3 & 3 \\ 2568:93199 & 2 & 99,2 & 4 & 1,3 & 6 & 2,9 & 2 \\ 2568:95202 & 2 & 88,2 & 4 & 1,6 & 5 & 3 & 2 \\ 2568:99962 & 2 & 90,9 & 4 & 1,3 & 6 & 6,7 & 2 \\ 2568:100566 & 2 & 95,6 & 5 & 2,5 & 4 & 6,1 & 2 \\ 2568:100721 & 2 & 75,3 & 6 & 3,1 & 6 & 6,8 & 2 \\ 2568:102167 & 2 & 85,2 & 9 & 5,8 & 4 & 4,4 & 2 \\ 2568:105720 & 2 & 98,6 & 7 & 3,6 & 5 & 5,7 & 3 \\ 2568:106346 & 2 & 86,8 & 4 & 1,9 & 6 & 7,9 & 2 \\ 2568:107030 & 2 & 98 & 4 & 1,9 & 4 & 2 & 3 \\ 2568:107772 & 2 & 108,3 & 3 & 2 & 8 & 8,5 & 3 \\ 2568:108553 & 2 & 92,4 & 7 & 3,6 & 5 & 6,7 & 2 \\ 2568:110610 & 2 & 92 & 6 & 1,9 & 5 & 22,6 & 2 \\ 2568:29023 & 2 & 92,6 & 6 & 3,6 & 6 & 5,7 & 2 \\ \hline \multicolumn{8}{c}{\vspace{1.5cm}}\\ \end{tabular*} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|ll|p{0.7\textwidth}|} \hline \thead{run}&\thead{event}&\thead{Bemerkung}\\ \hline 2568&80617 & \\ 2568&84297 &Eintrag im Vorw"artsdetektor\\ 2568&85398 & \\ 2568&87693 & \\ 2568&88929 & \\ 2568&91048 & \\ 2568&92681 &Doppeldetektion in Myonkammern \\ 2568&93199 &Eintrag im Hcal \\ 2568&95202 & \\ 2568&99962 & \\ 2568&100566 & \\ 2568&100721 &$\gamma$-Abstrahlung,Knick \\ 2568&102167 &evtl. FSR, Ecal nicht auf Spur \\ 2568&105720 &Doppeldetektion in $\mu$-Kammern \\ 2568&106346 &Hcal-Eintr"age in Strahlrohrn"ahe \\ 2568&107030 &Doppeldetektion in $\mu$-Kammern \\ 2568&107772 &Richtung des Thrust in Strahlrohrn"ahe, deshalb ungenaue p-Bestimmung \\ 2568&108553 & \\ 2568&110610 &viel Energie im Hcal deponiert \\ 2568&29023 & \\ \hline \end{tabular*} \end{center} \caption{Ereignisse des muons-Datensatzes untersucht mit GROPE}\label{mpmm} \end{table} Es ergeben sich damit die folgenden Schnittkriterien: \begin{tabbing} ncharged\qquad \=$= 2$ \\ pcharged \>$>50$ \\ e\_ecal \>$<8$ \\ e\_hcal \>$<12$ \end{tabbing} Folgende Ereignisse aus dem Datensatz test3 werden als myonisch identifiziert: \begin{tabbing} Run:Event\qquad\=Abbildung\quad\=Bemerkung\\ 4353:6057\>GROPE 2\\ 4353:10612\>GROPE 6\\ 4353:21475\>GROPE 14\\ 4353:23601\>GROPE 16\\ 4353:25711\>GROPE 17\\ 4353:32211\>GROPE 20\>relativ gro"se Energiedeposition im Ecal, aber zu wenig f"ur \epem\\ \>\>m"oglicherweise auch $\tptm\rightarrow\mpmm$ (pcharged sehr klein)\\ \end{tabbing} \subsubsection{Signatur des Zerfallskanals \/\tptm} Tauonen haben eine Lebensdauer von nur $2,8\pm 0,2~\mu\text{s}$, sie zerfallen daher nach einer Strecke von ungef"ahr 2,3~mm ($\gamma\approx 25,3$), was noch innerhalb des Strahlrohres liegt, so dass also lediglich die Zerfallsprodukte der $\tau$-Zerf"alle \cite[S. 51]{SkriptE213} beobachtet werden. Die myonischen und elektronischen 1prong-Zerf"alle \begin{align} \pl{\tau}&\rightarrow\pl{e}\nue\nuta\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{e}\nuea\nut\label{e}\\ \pl{\tau}&\rightarrow\pl{\mu}\numu\nuta\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\mu}\numua\nut\label{m} \end{align} hinterlassen im wesentlichen die gleichen Spuren im Detektor wie oben beschrieben, allerdings ist pcharged wesentlich kleiner, da ein gro"ser Teil des Impulses auf die Neutrinos "ubergeht. Dazu kommen dann noch die 1- und 3prong pionischen Zerf"alle \begin{align} \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\pi}\pi^0\nut\label{pmp0}\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\pi}\nut\label{pm}\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\pi}\mi{\pi}\pl{\pi}\nut\label{pmpmpp}\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\pi}\mi{\pi}\pl{\pi}\pi^0\nut\label{pmpmppp0}\\ \mi{\tau}&\rightarrow\mi{\pi}\pi^0\pi^0\pi^0\nut\label{pmp0p0p0} \end{align} hier nur f"ur das \mi{\tau} aufgef"uhrt. $\pi^0$-Mesonen zerfallen praktisch sofort elektromagnetisch. Die resultierenden Photonen hinterlassen keine Spur im Spurdetektor und werden im Ecal nachgewiesen; wegen der relativistischen $\pi^0$-Energien sind die Photonen meist nicht zu trennen (Lorenzboost). \plmi{\pi} hinterlassen eine Spur im Spurdetektor und l"osen Schauer im Ecal und Hcal aus.\\Die numerischen Daten aus den \tptm-Ereignissen sind in Tabelle~\ref{tptm} zusammengefasst. Sie sind in den Histogrammen H4 graphisch dargestellt. \begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|l|ccccccc|} \hline \thead{run:event}&\thead{ncharged}&\thead{pcharged}&\thead{ecal.n}&\thead{e\_ecal}&\thead{hcal.n}&\thead{e\_hcal}&\thead{muons.n}\\ \hline 2566:170371&5&774&8&51,1&8&10,2&0\\ 2566:170508&2&46,5&3&17,3&10&8,2&1\\ 2566:179750&2&30,8&5&1,6&5&6,3&2\\ 2566:184010&2&29,5&2&10,2&4&4,1&1\\ 2566:184435&2&33,1&3&1,5&7&10,6&2\\ 2566:189656&2&24,4&9&12,4&9&11,7&0\\ 2566:208314&4&36&6&16,1&7&5,7&1\\ 2566:212745&2&41,3&2&11,1&3&20&1\\ 2570:29664&2&49,7&10&5,2&9&20,3&3\\ 2570:30348&2&33,4&10&23,6&7&6,9&1\\ 2570:34612&2&14,1&4&3,3&5&6,3&1\\ 2570:39992&2&19,7&8&15,9&3&3,8&0\\ 2570:42200&2&26,8&5&16,5&4&3,4&1\\ 2570:45609&5&23,4&7&27&8&17,1&2\\ 2570:47033&2&23,8&4&29,4&4&3,6&0\\ 2572:98915&2&39&9&18,9&6&4,4&1\\ 2572:1022412&2&24,1&8&46,5&4&7,3&0\\ 2572:102586&5&38,5&16&28,5&0&0&0\\ 2572:108411&2&35,3&13&51,8&4&2,3&0\\ 2572:109621&2&17,8&9&2,5&5&5&4\\ \hline \multicolumn{8}{c}{\vspace{1.5cm}}\\ \end{tabular*} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|l|l|p{0.5\textwidth}|} \hline \thead{run:event}&\thead{$\tau$-Zerfall}&\thead{Bemerkung}\\ &prong: Gl., prong: Gl.&\\ \hline 2566:170371 &3: \eqref{pmpmppp0}, 1: \eqref{pmp0}&Reaktionsgleichungen im Text\\ 2566:170508 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{pmp0}& \\ 2566:179750 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{m}& \\ 2566:184010 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{pmp0}& \\ 2566:184435 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{m}&Eintr"age im Fcal (ISR?)\\ 2566:189656 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0} & \\ 2566:208314 &1: \eqref{m}, 3: \eqref{pmpmppp0} & \\ 2566:212745 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pm} & \\ 2570:29664 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{m} &evtl. auch 1x\eqref{pmp0} \\ 2570:30348 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{e} & \\ 2570:34612 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{m} & \\ 2570:39992 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0} & \\ 2570:42200 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{e} & \\ 2570:45609 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pm}&\epem aus konvertiertem $\gamma$\\ 2570:47033 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0p0p0}&viele Ecal-Eintr"age ohne Spuren (ISR?)\\ 2572:98915 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{pmp0} & \\ 2572:1022412 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0} & \\ 2572:102586 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{e}&\epem aus konvertiertem $\gamma$, evtl. auch Hcal-Ausfall (Ecke)\\ 2572:108411 &1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0p0p0} & \\ 2572:109621 &1: \eqref{m}, 1: \eqref{m} & \\ \hline \end{tabular*} \end{center} \caption{Ereignisse des tauons-Datensatzes untersucht mit GROPE}\label{tptm} \end{table} Es ergeben sich damit die folgenden Schnittkriterien: \begin{tabbing} ncharged\qquad \=$< 6$\quad\=$(7)$ \\ pcharged \>$<55$ \\ e\_ecal \>$<60$\>$(70)$ \\ e\_hcal \>$<25$\>$(45)$\\ Die Zahlen in Klammern ber"ucksichtigen die Daten von test3. \end{tabbing} Folgende Ereignisse aus dem Datensatz test3 werden als \tptm-Ereignisse identifiziert: \begin{tabbing} Run:Event\qquad\=Abbildung\quad\=$\tau$-Zerfall\qquad\qquad\=Bemerkung\\ 4353:9593\>GROPE 5\>1: \eqref{pmp0}, 3: \eqref{pmpmppp0}\\ 4353:13211\>GROPE 11\>1: \eqref{e}, 1: \eqref{pmp0}\\ 4353:19690\>GROPE 12\>1: \eqref{m}, 3: \eqref{pmpmppp0}\>$\mu$ strahlt $\gamma$ ab, das in \epem konvertiert\\ 4353:22028\>GROPE 15\>1: \eqref{e}, 3: \eqref{pmpmppp0}\>das einzelne geladene $\pi$ hat kleine Energie \end{tabbing} \subsubsection{Signatur des Zerfallskanals \/\qpqm} Zerf"allt das \zo in zwei Quarks, so werden im Farbfeld der auseinanderfliegenden Quarks, neue Quarks erzeugt. Schlie"slich werden die Quarks als (meist) zwei kollimierte Jets aus Hadronen, also gebundenen Quark-Zust"anden sichtbar. Emittiert eines der beiden Quarks ein energetisches Gluon (Abb.~\ref{3jet}), so entsteht ein dritter Jet. Die Hadronen sind zu einem guten Teil geladen, so dass eine gro"se Zahl geladener Spuren registriert wird. In den Kalorimetern wird eine Energie von meist etwa 60 - 80 GeV deponiert, die Anteile von ecal und hcal unterliegen dabei starken Schwankungen. Meist ist die ecal-Energie jedoch deutlich gr"o"ser als die hcal-Energie. \begin{figure}[hbtp] \begin{center} \includegraphics{3jet} \caption{Ereignis mit 3 Jets} \end{center}\label{3jet}\end{figure} Die numerischen Daten aus den \qpqm-Ereignissen sind in Tabelle~\ref{qpqm} zusammengefasst. Sie sind in den Histogrammen H5 graphisch dargestellt. \begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|l|ccccccc|} \hline \thead{run:event}&\thead{ncharged}&\thead{pcharged}&\thead{ecal.n}&\thead{e\_ecal}&\thead{hcal.n}&\thead{e\_hcal}&\thead{muons.n}\\ \hline 2566:164184 & 37,7 & 15 & 37 & 26 & 14,1 & 11 & 2 \\ 2566:195995 & 39,2 & 17 & 66,8 & 40 & 9,9 & 15 & 0 \\ 2566:196117 & 64,6 & 46 & 53 & 44 & 13 & 19 & 0 \\ 2566:196548 & 33,3 & 8 & 67,5 & 20 & 13,3 & 12 & 2 \\ 2568:78191 & 45,3 & 36 & 53,2 & 44 & 7,7 & 9 & 0 \\ 2568:78425 & 59,9 & 41 & 53,2 & 42 & 13,8 & 26 & 0 \\ 2568:78553 & 21,9 & 9 & 65,2 & 25 & 8,8 & 9 & 0 \\ 2568:78787 & 55,9 & 16 & 50,4 & 32 & 24,3 & 12 & 1 \\ 2568:79038 & 38,1 & 30 & 68,3 & 56 & 13,8 & 9 & 0 \\ 2568:79043 & 34,4 & 22 & 75,5 & 45 & 6,2 & 11 & 0 \\ 2568:79181 & 51,2 & 36 & 62,3 & 60 & 5,5 & 12 & 0 \\ 2568:79337 & 63,1 & 23 & 56 & 26 & 17,2 & 15 & 0 \\ 2568:79487 & 59 & 23 & 60,6 & 34 & 8,5 & 10 & 1 \\ 2568:79517 & 62,2 & 26 & 67,2 & 33 & 20,4 & 9 & 0 \\ 2568:79642 & 43,3 & 30 & 71,7 & 50 & 4,3 & 10 & 0 \\ 2570:88252 & 47,8 & 40 & 61,4 & 44 & 5,7 & 11 & 2 \\ 2570:88262 & 67,9 & 19 & 52,1 & 23 & 10,6 & 11 & 1 \\ 2570:88303 & 52,1 & 14 & 61 & 44 & 4,4 & 3 & 0 \\ 2570:88328 & 82,6 & 29 & 53,8 & 31 & 16,4 & 15 & 1 \\ \hline \multicolumn{8}{c}{\vspace{1.5cm}}\\ \end{tabular*} \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|ll|p{0.7\textwidth}|} \hline \thead{run}&\thead{event}&\thead{Bemerkung}\\ \hline 2566&164184 &2 Jets \\ 2566&195995 & \\ 2566&196117 &2 Jets, 1 konvertiertes $\gamma$, einige Teilchen auf Helixbahnen (p zu klein zum Entweichen)\\ 2566&196548 &2 relativ kollineare Jets \\ 2568&78191 &viele Teilchen mit kleinem Impuls \\ 2568&78425 &2 Jets \\ 2568&78553 &relativ wenige Spuren \\ 2568&78787 &1 abbrechende Bahn (Teilchen nicht mehr genug Energie f"ur Ionisation) \\ 2568&79038 &3 Jets, dementsprechend kleinere Impulse \\ 2568&79043 &2 nicht sehr ausgepr"agte Jets \\ 2568&79181 &2 Jets, einige Bahnen brechen ab \\ 2568&79337 &2 Jets\\ 2568&79487 &2 schmale Jets, 3 abweichende Bahnen \\ 2568&79517 &2 Jets \\ 2568&79642 &3 Jets\\ 2570&88252 &3-4 Jets, einige Zerf"alle in Vertexn"ahe \\ 2570&88262 &2 Jets \\ 2570&88303 &2 Jets \\ 2570&88328 &2 Jets \\ \hline \end{tabular*} \end{center} \caption{Ereignisse des hadrons-Datensatzes untersucht mit GROPE}\label{qpqm} \end{table} Es ergeben sich damit die folgenden Schnittkriterien: \begin{tabbing} ncharged\qquad \=$> 8$\\ pcharged \>$>20$ \\ e\_ecal \>$>10,\quad<70$ \\ e\_hcal \>$>2$ \end{tabbing} Folgende Ereignisse aus dem Datensatz test3 werden als hadronisch identifiziert: \begin{tabbing} Run:Event\qquad\=Abbildung\quad\=Bemerkung\\ 4353:5431\>GROPE 1\>3 Jets\\ 4353:6559\>GROPE 3\>2 Jets\\ 4353:7867\>GROPE 4\>2 Jets, viele Spuren "uber gro"sen Raumwinkel verteilt\\ 4353:11457\>GROPE 8\>2 Jets, relativ wenige Spuren\\ 4353:11863\>GROPE 10\>3 Jets, 1 Jet mit rel. niedriger Energie \end{tabbing} \section{Versuchsteil II\\Statistische Auswertung von \zo-Zerf"allen} \subsection{Schnittverfeinerung anhand simulierter Ereignisse mit PAW} Im zweiten Versuchsteil werden gro"se Mengen numerischer Daten (je 10000 Ereignisse) mit Hilfe des Programms PAW analysiert. Zun"achst werden allerdings die im ersten Versuchsteil entwickelten Schnittkriterien verfeinert und zwar anhand reiner Datens"atze der einzelnen Ereignisklassen, die durch Monte-Carlo-Simulationen unter Ber"ucksichtigung der Detektoreigenschaften gewonnen wurden. Im einzelnen geht man wie folgt vor. Man l"asst sich alle Detektorgr"o"sen, in denen Schnitte m"oglich sind, von allen vier Ereignisklassen plotten (PAW 1-6). Sodann sucht man sich eine Gr"o"se, die f"ur die gew"unschte Ereignisklasse besonders charakteristisch ist, und l"a"st die Anzahl der Ereignisse aus den einzelnen Datens"atzen berechnen, die diesen Schnitt passieren. Erh"alt man dabei zuwenige der gew"unschten Ereignisse, so muss das Schnittkriterium abgeschw"acht werden. Passieren jedoch fast alle Ereignisse der gew"unschten Klasse und viele Ereignisse der nicht gew"unschten Klassen den Schnitt, so muss dieser versch"arft werden. Hat man den Schnitt in dieser Gr"o"se optimiert, so l"a"st man sich die Verteilung der den ersten Schnitt passierenden Ereignisse in der n"achstcharakteristischen Variable plotten und setzt hier einen Schnitt, den man auf die gleiche Weise verbessert. Dieses Verfahren wird in den zur Verf"ugung stehenden Gr"o"sen wiederholt, bis ein hinreichend spezifischer und sensitiver Schnitt zur Verf"ugung steht. Das Vorgehen sei hier am Beispiel der Elektronen illustriert. Die vorhandenen Monte-Carlo-Daten umfassen in allen Ereignisklassen eine Stichprobe des Umfanges 10000. In diesen ist (nach uns unbekannten Kriterien) bereits eine Vorselektion durchgef"uhrt worden, au"serdem f"uhren wir in allen Kan"alen einen Schnitt auf pcharged$<$150 durch, mit dem alle Ereignisse verworfen werden, bei denen der Impuls der geladenen Teilchen nicht bestimmt werden konnte (und die deshalb bei pcharged$\gg$150 eingetragen werden). Danach bleiben (93454,93979,79051,97848) Ereignisse in den Kan"alen $(\epem,\mpmm,\tptm,\qpqm)$ "ubrig. Als ersten Schnitt w"ahlen wir e\_ecal$>$75, was motiviert wird durch den in Teil 1 entwickelten Schnitt und den Paw-Plot in e\_ecal (PAW 3). Diesen Schnitt passieren in der entsprechenden Reihenfolge (90525,1,389,3729) Ereignisse. Man hat also unter geringen Verlusten an Elektronen nun schon eine gute Abgrenzung gegen die Myonen erreicht, w"ahrend noch relativ viele Taus und Hadronen den Schnitt passieren. Diese beiden Ereignisklassen haben verglichen mit den meist zwei Teilchen beim \epem-Zerfall eine relativ hohe geladene Multiplizit"at ncharged, so dass sich als n"achstes ein Schnitt in dieser Gr"o"se anbietet. Zun"achst testen wir hier ncharged$<$5, was (89943,1,345,2) ergibt, ncharged$<$6 l"asst aber mit (90405,1,364,6) deutlich mehr Elektronen durch, ohne die Anzahl der passierenden Taus und Myonen wesentlich zu verschlechtern. Nun verbleiben im wesentlichen solche Ereignisse der Art \begin{equation}\epem\rightarrow\tptm\rightarrow\pl{e}\nue\nuta+\mi{e}\nuea\nut\end{equation} im Schnitt (die Wahrscheinlichkeit f"ur diesen $\tptm$-Zerfall ist $0,179^2\approx0,032$ \cite{SkriptE213} entsprechend 320 von 10000 Ereignissen), der von den \epem-Ereignissen durch den von den Neutrinos getragenen und nicht registrierten Impuls unterschieden werden kann. Daher wird ein weiterer Schnitt pcharged$>$35 eingef"uhrt. \begin{figure}[hbtp] \begin{center} \includegraphics{bhabba} \end{center} \caption{t-Kanal: $\epem\rightarrow\epem$} \label{tkanal} \end{figure} Bei den Elektronen muss nun zus"atzlich noch die t-Kanal-Bhabha-Streuung (Abb.~\ref{tkanal}) ausgeschlossen werden, da hier nur der Wirkungsquerschnitt f"ur die s-Kanal-Streuung gemessen werden soll. Dazu f"uhrt man einen Schnitt im Winkel ($\cos(\theta)$) der Bahn der Endzustandselektronen zur Strahlachse durch. Der Wirkungsquerschnitt im s-Kanal h"angt n"amlich wie $1+\cos^2(\theta)$, also vergleichsweise schwach vom Winkel ab, w"ahrend der Wirkungsquerschnitt f"ur den t-Kanal ein ausgepr"agtes Maximum in Vorw"artsrichtung aufweist (PAW 6, oben links). Daher wird der Schnitt so gesetzt, dass alle Ereignisse verworfen werden, bei deren Winkel $\cos(\theta)>0$ in Vorw"artsrichtung die Z"ahlrate deutlich "uber derjenigen am entsprechenden Winkel in R"uckw"artsrichtung ($-\cos(\theta)$) liegt, in unserem Fall hie"s das alle Ereignisse mit $\cos(\theta)<0,5$ zu verwerfen. Bei den Taus und den Elektronen zeigt "uberdies der Vergleich der Winkelverteilungen von Opal-Daten und Monte-Carlo-Simulation (PAW 7,8), dass die gez"ahlte Rate nicht erst pl"otzlich bei $\cos(\theta) = \pm 1$ auf Null abf"allt, sondern bereits vorher einknickt, was seinen Grund in erster Linie in der in Strahlrohrn"ahe abfallenden Nachweiswahrscheinlichkeit des Detektors haben d"urfte (evtl. aber auch durch Vorselektion bedingt). Daher wird bei den Elektronen noch ein Schnitt $\cos(\theta)>-0,925$ und bei den Taus ein Schnitt $|\cos(\text{thrust})|<0,75$ gesetzt. Aus dem gleichen Grund wird bei der Analyse der Vorw"artsr"uckw"artsasymmetrie auch bei den Myonen ein Winkelschnitt $|\cos(\theta)|<0,9$ gesetzt. Indem man wie oben f"ur die Elektronen beschrieben vorgeht, ergeben sich die Schnitte und akzeptierten Ereigniszahlen in Tabelle~\ref{schnitte}. \begin{table}[hbtp] \begin{center} \begin{tabular}{|c|r@{}c@{}l|c|} \hline \textbf{Schnitt} &\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Kriterien}} & \textbf{akzeptierte Ereignisse} \\ & && & \textbf{$e \mu \tau h$} \\[6pt] \hline \epem & 75$<$&e\_ecal& & 20366 00001 00041 00000 \\ (PAW 9) & &ncharged&$<$6 & \\ & -0.925$<$&$\cos(\theta)$&$<$0.5 & \\ & 35$<$&pcharged&$<$150 & \\[4pt] \hline \mpmm & &e\_ecal&$<$10 & 00000 80677 00018 00000 \\ (PAW 10) && ncharged&$\leq$3 & \\ && &=2$^\ast$ & \\ & 80$<$&pcharged&$<$150 & \\ &&$|\cos(\theta)|$&$<$0.9$^\ast$& \\[4pt] \hline \tptm & &e\_ecal&$<$80 & 00052 01574 57679 00116 \\ (PAW 11) & &ncharged&$<$7 & \\ & &pcharged&$<$70 & \\ & &$\cos(\text{thrust})$&$<$0.75& \\[4pt] \hline \qpqm & 30$<$&e\_ecal& & 00025 00000 00693 96513 \\ (PAW 12) & 6$<$&ncharged& & \\ & &pcharged&$<$150 & \\[4pt] \hline \multicolumn{5}{|c|}{$^\ast$ bezieht sich auf die $A_{fb}$-Messung}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Schnitte in den Monte-Carlo-Daten}\label{schnitte} \end{table} \subsection{Analyse von OPAL-Daten: Methode und Rechnungen}\label{meth} Nun ergibt sich das Problem, da"s wir durch unsere Schnitte die Teilchen nicht 100\%ig einordnen k"onnen. Zum einen fallen Elektronen durch den Elektronenschnitt durch, zum anderen gibt es vielleicht ungew"ohnliche Myonen-Ereignisse, die auch den Tau-Schnitt bestehen. Dies kann man an den Ergebnissen unserer Schnitte erkennen, die eben nicht alle gew"unschten Teilchen und sonst keine durchlassen. Um dies zu korrigieren, m"ussen wir die Ergebnisse unserer Schnitte immer erst zur"uckrechnen auf die tats"achliche Ereigniszahl. Dies k"onnen wir anhand der Monte-Carlo-Daten tun, da wir hier sowohl tats"achliche Ereigniszahlen als auch die durch die Schnitte ermittelten kennen. Dazu fa"st man die Teilchenanzahl f"ur Elektronen, Myonen, Tauonen und Hadronen in einem Vektor zusammen. Den Verlust von Teilchen und das Durchlassen von Untergrund kann man nun durch die sogenannte Effizienz-Untergrund-Matrix $A$ beschreiben, die die tats"achlichen Zahlen mit den gemessenen verkn"upft: $\begin{pmatrix} n_e \\ n_{\mu}\\ n_{\tau}\\ n_q \end{pmatrix}_{gemessen}=A\begin{pmatrix} n_e \\ n_{\mu}\\ n_{\tau}\\ n_q \end{pmatrix}_{echt}$ In einer Zeile stehen immer die Ergebnisse eines Schnitts auf ein festes Teilchen f"ur die verschiedenen Kan"ale normiert auf die Gesamtzahl dieser Teilchenart. In einer Spalte stehen jeweils die verschiedenen Schnittergebnisse f"ur eine feste Teilchenart ebenfalls normiert auf die Gesamtzahl der Vorkommnisse dieser Teilchenart. Der Gesamtzahlvektor hat bei uns den Wert $g=\begin{pmatrix} 23623,4 & 100000 & 100000 & 100000 \end{pmatrix}$. Die nichtganze Zahl Elektronen kommt dadurch zustande, da"s wir die Gesamtzahl nach Anwendung des Winkelschnittes auf den s-Kanal ben\"{o}tigen, aber ohne Ber"ucksichtigung der Vorselektion. Diese hat stattgefunden, bevor wir die Daten erhielten, um bereits offensichtlich falsche Ereignisse auszusondern. Bei den anderen Zerfallskan"alen hat dies nichts ausgemacht, da wir wissen, da"s vor der Vorselektion 100000 Ereignisse im Datensatz waren. Bei den Elektronen m"ussen wir das erst aus der Zahl nach Winkelschnitt und Vorselektion ermitteln, wobei wir davon ausgegangen sind, da"s der Winkelschnitt auf die Ereignisse nach der Vorselektion genauso wirkt, wie auf den gesamten originalen Datensatz. Als Effizienz-Untergund-Matrix ergibt sich somit aus unseren Schnittergebnissen $$\begin{pmatrix} 8,6211$e$-1 & 1$e$-5 & 4,1$e$-4 & 0 \\ 0 & 8,0677$e$-1 & 1,8$e$-4 & 0 \\ 2,2$e$-3 & 1,574$e$-2 & 5,7679$e$-1 & 1,16$e$-3 \\ 1,06$e$-3 & 0 & 6,93$e$-3 & 96513$e$-1 \end{pmatrix}$$ Nun, da wir als n"achstes an der echten Teilchenzahl interessiert sind, m"ussen wir die Matrix invertieren. Dies haben wir mit Hilfe von Maple bewerkstelligt. Als Inverse haben wir folgende Matrix erhalten: $$\begin{pmatrix} 1,16 & 1,709$e$-6 & -8,2455$e$-4 & 9,9104$e$-7 \\ 9,8709$e$-7 & 1,2395 & -3,8683$e$-4 & 4,6494$e$-7 \\ -4,4242$e$-3 & -3,3825$e$-2 & 1,7338 & -2,8039$e$-3 \\ -1,2402$e$-3 & 2,4289$e$-4 & -1,2448$e$-2 & 1,0362 \end{pmatrix}$$ Weiterhin gibt es noch etwas bei der Fehlerrechnung zu beachten. Auf Grund des statistischen Charakters der Untersuchung nehmen wir einen Fehler von $\sqrt{N}$ bei einer Anzahl von $N$ an. Allerdings mu"s man bei der Fehlerfortpflanzung vorsichtig sein, da Z"ahler und Nenner der Eintr"age in $A$ nicht unabh"angig sind, so da"s die Fehler korreliert sind. Deswegen schreibt man die Gesamtzahl als Summe von positiven und negativen Schnittergebnissen. Diese sind nun nicht mehr korreliert, so da"s man die Fehler einfach nach der Gau"s'schen Methode fortpflanzen kann. In Formeln hei"st dies: $$\Delta\frac{n}{N}=\Delta\frac{n}{n+R}=\Delta\frac{1}{1+\frac{R}{n}}$$ und als Ergebnis $$\Delta A=\begin{pmatrix} 2,2432$e$-3 & 9,9999$e$-6 & 6,4018$e$-5 & 0 \\ 0 & 1,2486$e$-3 & 42422$e$-5 & 0 \\ 3,0492$e$-4 & 3,9360$e$-4 & 1,5624$e$-3 & 1,0764$e$-4 \\ 2,1154$e$-4 & 0 & 2,6234$e$-4 & 5,8012$e$-4 \end{pmatrix}$$ Es bleibt dann f"ur den ermittelten Vektor noch der Fehler zu bestimmen. Dazu haben wir die folgende Formel \cite[S. 63]{Schaback::1993} angesetzt $(A+\delta A)(x+\delta x)=(z+\delta z)$, die mit Hilfe von $Ax=z$ nach $\delta x$ aufgel"ost $\delta x=(A+\delta A)^{-1}(\delta z-\delta Ax)$ ergibt. Da wir nun die real vorgekommenen Teilchenzahlen ermittelt haben, m"ussen wir nun noch eine Korrektur auf Grund des Winkelschnitts f"ur die Elektronen anbringen. Um den t-Kanal abzutrennen, haben wir bei $\cos\theta>0,5$ und $\cos\theta<-0,925$ geschnitten. Dadurch haben wir aber auch s-Kanal-Elektronen verloren, die wir nun wieder einrechnen m"ussen. Dazu haben wir das Wissen "uber die $(1+\cos^2)$-Abh"angigkeit des Wirkungsquerschnittes ausgenutzt, indem wir einfach das Verh"altnis der Integrale "uber den von uns zugelassenen Winkelbereich und den vollst"andigen Winkelbereich berechnet und dann das Elektronenergebnis durch diese Zahl dividiert haben, damit haben wir die Elektronenanzahl auf den gesamten Winkelbereich zur"uckgerechnet. Numerisch haben wir f"ur diesen Faktor den Wert $1,54099$ erhalten. Nun da wir die notwendigen Matrizen und Korrekturen anhand der Monte-Carlo-Daten ermittelt haben, k"onnen wir sie auf die wirklich gemessenen Daten f"ur die verschiedenen Energien anwenden. Um dann die Wirkungsquerschnitte zu berechnen, m"ussen wir noch durch die integrierte Luminosit"at dividieren und die im Skript angegebenen energieabh"angigen Strahlungskorrekturen addieren. Die Luminosit"aten ergeben ebenfalls einen Term f"ur den Fehler der Wirkungsquerschnitte. Dies sind nun die endg"ultigen Werte, die wir einem Breit-Wigner-Fit mit $\chi^2$-Kriterium unterworfen haben, um den Peakwert, sowie Schwerpunkt und Breite der Resonanz zu bestimmen. Weiterhin werten wir die Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie beim Myonen-Kanal bei der der Resonanz am n"achsten liegenden Energie $E_{CM}=91,22\unit{GeV}$ aus. In diesem Fall k"onnen wir direkt mit den gez"ahlten Ereignissen rechnen. Dies liegt daran, da"s sich bei diesem Verh"altnis die lineare Transformation durch die Effizienz-Untergrund-Matrix und die Korrekturfaktoren herausk"urzen. Also m"ussen wir nur die Differenz der Ereignisse in der vorderen Hemisph"are und der hinteren Hemisph"are durch die Gesamtzahl dividieren. Aus dieser Asymmetrie k"onnen wir dann nach den Formeln aus dem Theorieteil den Weinbergwinkel absch"atzen. Bei der Fehlerechnung ist dasselbe zu beachten, was bereits "uber den Fehler der Effizienz-Untergund-Matrix bzgl. korrelierter Fehler gesagt wurde. \subsection{Analyse von OPAL-Daten: Ergebnisse} \subsubsection{Parameter der \zo-Resonanz} Nach dem oben beschriebenen Verfahren haben wir nun die real gemessenen Daten ausgewertet. Das Ergebnis ist in Tabelle \ref{t1} dargestellt. Ebenfalls sind die Division durch die Luminosit"at und die Strahlungskorrekturen enthalten. \begin{table}\scriptsize{ \begin{tabular}{|c|} \hline \\ \normalsize{$e$}\\[6pt] \begin{tabular*}{0.95\textwidth}{|@{\extracolsep{\fill}}c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $E [GeV]$&$N_e$&$\Delta N_e$&$L [nb^{-1} $&$\Delta L [nb^{-1}$&$Korrektur [nb]$&$\sigma [nb]$&$\Delta\sigma [nb]$\\ \hline 88,4763&133,977&15,066&403,12&3,8&0,09&0,422&0,048\\ 89,46658&382,297&25,032&545,0066&4,8&0,2&0,901&0,06\\ 90,21986&573,423&30,369&542,7271&4,8&0,36&1,417&0,076\\ 91,2291&2932,696&64,179&2080,004&15,3&0,52&1,93&0,045\\ 91,2291&507,209&28,628&493,61&4,5&0,22&1,248&0,071\\ 92,96229&160,688&16,448&340,76&3,5&-0,01&0,462&0,047\\ 93,71362&276,829&21,419&622,49&5,5&-0,08&0,365&0,028\\\hline \end{tabular*}\\\\ \normalsize{$\mu$}\\[6pt] \begin{tabular*}{0.95\textwidth}{|@{\extracolsep{\fill}}c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $E [GeV]$&$N_e$&$\Delta N_e$&$L [nb^{-1} $&$\Delta L [nb^{-1}$&$Korrektur [nb]$&$\sigma [nb]$&$\Delta\sigma [nb]$\\ \hline 88,4763&90,46&10,425&403,12&3,8&0,09&0,314&0,036\\ 89,46658&263,95&17,633&545,0066&4,8&0,2&0,684&0,046\\ 90,21986&494,46&23,925&542,7271&4,8&0,36&1,271&0,063\\ 91,2291&3124,116&57,135&2080,004&15,3&0,52&2,022&0,04\\ 91,2291&605,993&26,393&493,61&4,5&0,22&1,448&0,064\\ 92,96229&218,099&16,063&340,76&3,5&-0,01&0,63&0,047\\ 93,71362&294,936&18,615&622,49&5,5&-0,08&0,394&0,025\\\hline \end{tabular*}\\\\ \normalsize{$\tau$}\\[6pt] \begin{tabular*}{0.95\textwidth}{|@{\extracolsep{\fill}}c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $E [GeV]$&$N_e$&$\Delta N_e$&$L [nb^{-1} $&$\Delta L [nb^{-1}$&$Korrektur [nb]$&$\sigma [nb]$&$\Delta\sigma [nb]$\\ \hline 88,4763&110,832&13,024&403,12&3,8&0,09&0,365&0,043\\ 89,46658&294,696&20,422&545,0066&4,8&0,2&0,741&0,052\\ 90,21986&470,06&24,925&542,7271&4,8&0,36&1,226&0,066\\ 91,2291&3093,483&50,083&2080,004&15,3&0,52&2,007&0,036\\ 91,2291&573,269&27,138&493,61&4,5&0,22&1,381&0,067\\ 92,96229&245,721&18,837&340,76&3,5&-0,01&0,711&0,055\\ 93,71362&304,67&20,682&622,49&5,5&-0,08&0,409&0,028\\\hline \end{tabular*}\\\\ \normalsize{$hadrons$}\\[6pt] \begin{tabular*}{0.95\textwidth}{|@{\extracolsep{\fill}}c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $E [GeV]$&$N_e$&$\Delta N_e$&$L [nb^{-1} $&$\Delta L [nb^{-1}$&$Korrektur [nb]$&$\sigma [nb]$&$\Delta\sigma [nb]$\\ \hline 88,4763&2119,031&45,407&403,12&3,8&2&7,257&0,17\\ 89,46658&5449,727&71,534&545,0066&4,8&4,3&14,299&0,226\\ 90,21986&9717,187&71,534&542,7271&4,8&7,7&25,604&0,336\\ 91,2291&63230,392&216,186&2080,004&15,3&10,8&41,199&0,334\\ 91,2291&12138,965&104,356&493,61&4,5&4,7&29,292&0,367\\ 92,96229&4834,775&67,6&340,76&3,5&-0,2&13,988&0,243\\ 93,71362&6234,081&76,298&622,49&5,5&-1,6&8,415&0,127\\\hline \end{tabular*}\\\\ \hline \end{tabular} } \caption{Ergebnisse der Auswertung der gemessenen Daten}\label{t1} \end{table} Die Ergebnisse der Breit-Wigner-Fits sind in Tabelle \ref{t2} dargestellt. Da wir 7 Me"spunkte zur Verf"ugung hatten, und die Resonanz durch 3 Parameter beschrieben wird, hat der Fit 4 Freiheitsgrade. Als $\chi^2$-Verteilung ergibt sich damit $f(x)=\frac{x\exp(-\frac{x}{2})}{4}$. Aus dem Integral $\int_{\chi^2}^\infty f(x) dx$ ergibt sich damit der sogenannte Confidence Level. Er betr"agt f"ur den Elektronenfit $8,98\%$, was zeigt, da"s die Elektronendaten relativ schlecht sind. Dies wird sich auch sp"ater immer wieder zeigen. Weiteres dazu am Ende in der Diskussion der Ergebnisse. Die anderen Confidence Level betragen $89,44\%$ f"ur die Myonen, $68\%$ f"ur die Tauonen und $45\%$ f"ur die Hadronen. Diese Fits scheinen also sehr gut zu sein, da man in der Regel $5\%$ als Grenze der Zuverl\"{a}ssigkeit ansetzt. Weiterhin l"ast sich aus dem Verh"altnis von $\chi^2$ und der Zahl der Freiheitsgrade die Qualit"at des Modells absch"atzen. Als kritischer Wert ergibt sich f"ur 4 Freiheitsgrade $\chi^2=9,49$. Da f"ur unsere Fits dieser Wert immer unterschritten wird, scheinen unsere Ergebnisse mit dem Modell konsistent und relativ zuverl"assig zu sein. \begin{table} \scriptsize{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Teilchen&$\sigma_peak [nb]$&$\Delta\sigma_peak [nb]$&$M_Z [GeV]$&$\Delta M_Z [GeV] $&$\Gamma_Z [GeV]$&$\Delta\Gamma_Z [GeV]$&$\chi^2$\\ \hline $hadr$&40,966&3,0508$e$-1&91,194&8,7196$e$-3&2,5376&2,0793$e$-2&3,687\\ $\mu$&2,028&3,832$e$-2&91,184&3,2737$e$-2&2,4434&6,7119$e$-2&1,099\\ $\tau$&1,9964&3,4754$e$-2&91,177&3,5140$e$-2&2,5591&7,5571$e$-2&2,304\\ $e$&2,0105&5,0325$e$-2&90,948&3,6534$e$-2&2,5038&8,8075$e$-2&8,050\\ \hline \end{tabular}} \caption{Ergebnisse der Breit-Wigner-Fits}\label{t2} \end{table} Wie man sieht, stimmen unsere Ergebnisse innerhalb der Fehlergrenzen mit dem Literaturwert von $M_Z=91,187\pm0,07\unit{GeV}$, $\Gamma_Z=2,49\pm0,007\unit{GeV}$ "uberein. Au"serdem sind noch die Ergebnisse der Auswertung durch die OPAL-Gruppe in den Resonanzkurven enthalten. Diese stimmen mit unseren bis auf den Elektronensatz sehr gut "uberein. An den ermittelten Wirkungsquerschnitten f"ur Elektronen, Myonen und Tauonen erkennt man, da"s die Lepton-Universalit"at durch unsere Daten best"atigt wird: innerhalb der Fehlergrenzen stimmen alle Wirkungsquerschnitte "uberein. Als Verh"altnis des hadronischen Wirkungsquerschnitts im Peak zu den leptonischen Kan"alen ergibt sich f"ur die Elektronen $20,376\pm0,532$, f"ur die Myonen $20,2\pm0,41$ und f"ur die Tauonen $20,52\pm0,389$. Dies liegt sehr nahe an dem aus den erwarteten Branching-Ratios errechneten Wert von 20,075, der sich innerhalb der Fehlergrenzen befindet. Allerdings scheinen die von uns gemessenen Werte systematisch etwas nach oben abzuweichen. Nun kann man weiterhin die Partialbreiten der verschiedenen Kan"ale errechnen. Dabei ergibt sich Tabelle \ref{t3}. Dabei haben wir mit dem e-Kanal angefangen, da diese Partialbreite auch in alle anderen Berechnungen eingeht. Die Partialbreiten haben wir aus der Formel f"ur die Wirkungsquerschnitte im \zo-Peak bestimmt, wie sie im Theorieteil zu finden ist. An der Tabelle zeigt sich, da"s innerhalb der Fehlergrenzen keine Diskrepanz zwischen gemessenen und erwarteten Werten zu erkennen ist. \begin{table}\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Teilchen&$\Gamma [GeV]$&$\Delta\Gamma [GeV]$&$\Gamma_{theo}$\\ \hline $e$&$0,0843$&$0,005$&$0,083$\\ \hline $\mu$&$0,0814$&$0,007$&$0,083$\\\hline $\tau$&$0,0879$&$0,008$&$0,083$\\\hline $hadr$&$1,77$&$0,114$&$1,674$\\ \hline \end{tabular}\end{center} \caption{Partialbreiten der Kan"ale}\label{t3} \end{table} Zum Schlu"s k"onnen wir aus den erhaltenen Breiten noch die Anzahl der leichten Neutrinogenerationen absch"atzen. Als Formel verwenden wir die entsprechende Relation der Gesamtbreite zu den Breiten der einzelnen Teilchen aus dem Theorieteil. Die Ergebnisse sind in Tabelle \ref{t4} dargestellt. Die Breite pro Neutrinogeneration haben wir dabei aus theoretischen Berechnungen zu $0,166 \unit{GeV}$ angenommen. Es zeigt sich da"s die Anzahl der Neutrinogenerationen mit gro"ser Sicherheit 3 betr"agt. Als Annahmen haben wir angenommen, da"s erstens alle Zerfallskan"ale bekannt sind, so da"s keine Beitr"age vorkommen, die eine dritte Neutrinogeneration vort"auschen, und da"s die Beitr"age au"ser dem Neutrinobeitrag hinreichend genau bekannt sind. \begin{table}\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Teilchen&$N_{\nu}$&$\Delta N_{\nu}$\\ \hline $e$&$2,872$&$0,87$\\ \hline $\mu$&$2,509$&$0,799$\\\hline $\tau$&$3,206$&$0,826$\\\hline $hadr$&$3,076$&$0,701$\\ \hline gemittelt&$2,916$&$0,401$\\\hline \end{tabular}\end{center} \caption{Anzahl leichter Neutrinogenerationen nach den Me"swerten}\label{t4} \end{table} \subsubsection{Vorw"arts-R"uckw"artsasymmetrie und Weinbergwinkel} Nun k"onnen wir noch aus der Asymmetrie zwischen Vorw"arts- und R"uckw"artshemisph"are im Myonenkanal den Weinbergwinkel absch"atzen. Als Asymmetrie ergibt sich $A_{FB}=-0,0466\pm0,0023$, was zu einer Sch"atzung von $\sin^2\theta_W=0,219\pm0,02$ f"uhrt. Dies stimmt innerhalb der Fehlergrenzen mit dem Literaturwert "uberein. Allerdings ist der Fehler auch sehr gro"s, so da"s dieser Versuchsteil sicher nicht als pr"azise bezeichnet werden kann. \section{Diskussion der Ergebnisse} Es f"allt auf, da"s bei der Resonanzkurve f"ur den Elektronenkanal die von uns gemessenen Werte jeweils den OPAL-Daten f"ur eine ca. $0,3\unit{GeV}$ h"ohere Energie entsprechen. Dies scheint ein systematischer Fehler zu sein, der die Qualit"at der Elektronendaten gegen"uber den anderen Kan"alen wahrscheinlich so verschlechtert hat. Daf"ur kann es mehrere Erkl"arungen geben, z.B. da"s unsere Korrektur auf den Winkelschnitt zur Abtrennung des t-Kanals nicht korrekt war. Dabei haben wir n"amlich vorausgesetzt, da"s unsere Schnitte auf alle Elektronen gleich wirken, gleich welchen Wert f"ur $\cos\theta$ sie haben. Wenn dies nun nicht der Fall ist, w"are eine k"unstliche Verzerrung der Resonanzkurve zu erwarten. Allerdings w"urden wir dann nicht eine gleichm"a"sige Verschiebung zu niedrigeren Energien hin erwarten. Ein weiterer Fehler, der mit dem vorigen verwandt ist, k"onnte die Annahme sein, da"s die Schnitte vor und nach der Vorselektion genauso wirken. Dies haben wir benutzt, um die Zahl der Elektronen nach dem Winkelschnitt aber vor der Vorselektion zu bestimmen. Aber hier ist ebenfalls nicht unmittelbar ersichtlich, warum dies zu der beobachteten gleichm"a"sigen Verschiebung f"uhren sollte. \bibliography{e} \bibliographystyle{gerplain} \end{document}